一、双因素方差分析的类型

双因素方差分析有两种类型：一种是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一种是有交互作用的方差分析，它假定A、B两个因素不是独立的，而是相互起作用的，两个因素同时起作用的结果不是两个因素分别作用的简单相加，两者的结合会产生一个新的效应。这种效应的最典型的例子是，耕地深度和施肥量都会影响产量，但同时深耕和适当的施肥可能使产量成倍增加，这时，耕地深度和施肥量就存在交互作用。两个因素结合后就会产生出一个新的效应，属于有交互作用的方差分析问题。本文主要论述无交互作用的双因素方差分析。

二、数据结构

（一）双因素方差分析的假定条件

1.个总体都服从正态分布：对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本；

2.各个总体的方差必须相同：对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的；

3.观察值是独立的

（二）数据结构

设两个因素分别是A和B。因素A共有r个水平，因素B共有s个水平，无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7-3所示。

（三）分析步骤

1.模型与建立假设

方差分析模型如下：

其中Xij表示第i组的第j个观察值；μ表示总体的平均水平；aj表示影响因素A在i水平下对应变量的附加效应，bj表示影响因素B在j水平下对应变量的附加效应，并满足：

eij为一个服从正态分布的随机变量，代表随机误差。我们检验因素A是否起作用实际上就是检验各个aj是否均为0，如都为0，则因素A所对应的各组总体均数都相等，即因素A的作用不显著；对因素B，也是这样。因此原假设有两个：

对因素A：

对因素B：

2.构造检验F统计量

（1）水平的均值

（2）总均值

（3）离差平方和的分解

双因素方差分析同样要对总离差平方和SST进行分解，SST分解为三部分：SSA、SSB和SSE，以分别反映因素A的组间差异、因素B的组间差异和随机误差的离散状况。

它们的计算公式分别为：

（4）构造检验统计量

由平方和与自由度可以计算出均方，从而计算出F检验值，如表7-4。

3.判断与结论

根据给定的显著性水平α在F分布表中查找相应的临界值Fa，将统计量F与Fa进行比较，作出拒绝或不能拒绝原假设H0的决策。

若A统计量大于临界值，则拒绝原假设1，表明均值之间有显著差异，即因素A对观察值有显著影响；若A统计量小于临界值，则不能拒绝原假设1，表明均值之间的差异不显著，即因素A对观察值没有显著影响；同理，若B的统计量大于临界值，则拒绝原假设2，表明均值之间有显著差异，即因素B对观察值有显著影响。 若B统计量小于临界值，则不能拒绝原假设2，表明均值之间的差异不显著，即因素B对观察值没有显著影响。

三、实例

【例7.3】有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(a=0.05)

【解】

我们可以按上述的步骤，完成检验，但计算工作量很大。这里我们利用Excel的分析工具。

首先针对问题，作原假设和备择假设：

利用excel，得到的方差分析表见表7-6。