数学归纳法是数学证明中一个重要的方法。数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。

用表示非负整数集合：, 用表示整数集合，用表示正整数集合。

最小数原理：正整数集的任意一个非空子集必含有一个最小数，即存在一个数，使得对任意的数，都有。

如 ，都是的非空子集，分别有最小数为5，1000。

注意1. 最小数原理并不是对于任意数集都成立的。例如，全体整数集合就没有最小数。又如，全体正分数所成的集合也没有最小数。这是因为如果是正分数，那么就是小于的正分数。

2. 设是一个整数。令

那么以代替正整数集，最小数原理对于仍然成立。也就是说，的任意一个非空子集必含有一个最小数。特别地，的任意一个非空子集必含有一个最小数。

由最小数原理可以给出第一数学归纳法。

定理1.2.1（第一数学归纳法）设有一个与正整数有关的命题。如果

⑴ 当时，成立；

⑵ 假设时，成立，则当时，也成立，那么对一切正整数都成立。

证明：用反证法。假设命题不是对一切正整数都成立，令表示使不成立的正整数组成的集合, 那么。由最小数原理，中有最小数。 因为当时，成立，所以，从而是一个正整数。因为是中最小数，。即当，成立。于是由⑵知，当时，成立。因此。这是一个矛盾。

理解数学归纳法的定义和正确性并不难，但是要正确地用好数学归纳法却不是一件容易的事。

数学归纳法中的两步缺一不可。验证成立是基础，利用归纳法假设结合已知的有关数学知识证明成立是递推的根据。这两步对证明命题相辅相成，构成数学归纳法证明过程的逻辑结构。尤为重要的是在证明过程中必须用到归纳假设，这是检验是否用对了数学归纳法的一把尺。

例1.2.1 证明：对任意, 都有

     （1.2.1）

证明：当时，式右边，左边，故时，式成立。

现设式对成立，考虑的情形，

利用 ，知

                                       

所以，式对成立。

综上，由数学归纳法原理知式对一切正整数n都成立。

说明： 这是一个错误的证明，其错误在于证明对成立时，并没有用到归纳假设。

正确的过程如下：由归纳假设知

事实上式的得到是正确的，但是是对式的一个直接证明，不应该套上数学归纳法这顶帽子。这一点也是初学者经常犯的一些错误，应认真改正，否则难以形成一个正确的逻辑推导的思维过程。

例1.2.2 证明

证明：假设时，命题正确，即

当时，

即命题对正确。因此,对任意自然数都是正确的。

事实上，

显然命题是错误的，而证明过程中忽略了数学归纳法的第一步，才导致了错误的结论。

例1.2.3 求证：

证明：当时，上式显然成立.

假设时成立，考虑情形

，

所以对时也正确。因此，命题对一切自然数都成立。

例1.2.4 求证：个正实数的算数平均值大于或等于这个数的几何平均值，即

                  

其中。

证明：当时，显然成立；当时，式等价于，即，故式成立。

假设式对成立，考虑情形

记  ，

由归纳假设知

。

注意到，故

，

所以  ，

进而，，即

故对成立。所以，对任意自然数，不等式（1.2.3）成立。

注意： 根据最小数原理及上面的注意2，我们可以取来代表正整数集。也就是说，如果某一个命题是从某一个整数开始成立，这时仍然可以利用数学归纳法来证明，只要把定理1.2.1中条件 ⑴ 换成即可。

例1.2.5 证明：当时，边形的内角和等于。

证明：当时，命题成立。因为三角形内角和等于。

假设时命题成立，看任意一个边形（如图1.2.1）。

联结，那么的内角和等于三角形的内角和与边形的内角和之和。

前者和为，后者归纳假设为。

图1.2.1

因此边内角和为

。所以对任意的正整数，结论成立。