学习指导

一、内容提要

1.基本概念

集合、两个集合的笛卡尔儿积、二元代数运算

2.基本结论

1）最小数原理；

2）第一数学归纳法；

3）第二数学归纳法；

3.基本方法

1）利用第一数学归纳法证明问题；

2）利用第二数学归纳法证明问题。

4.需要说明的问题

本章介绍了代数运算，最小数原理，第一数学归纳法，第二数学归纳法等内容，重点是代数运算，第一数学归纳法和第二数学归纳法。

代数运算是代数学中一个基本的概念，它概括了“两个得一个”的本质。代数运算是一种映射。这是比较抽象的定义，可以通过一些常见的运算，如实数集，有理数集，整数集上的运算理解代数运算的定义。

数学归纳法这里指第一数学归纳法和第二数学归纳法，它是本章的另一个重点内容。学会用它们证明问题是一个难点。解决的办法是理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证明问题的步骤。数学归纳法由两个环节组成，即递推起点和递推过程。用数学归纳法证明问题时二者缺一不可，就是说每个环节都必须切实得到验证，否则就会导致错误。读者应反复练习用数学归纳法证明问题。

 

二、精选例题解析

 

例1 令集合，是一个正整数。定义运算如下：

证明：如上定义运算是上的代数运算。

证明：根据代数运算的定义，需要验证 “+” 是一个映射，即若  ，则有，也就是运算与代表元选取无关。

因为，则有，于是

所以 ，从而。

因此 ，所以“+”是上的代数运算。

例2 证明 。

证明：当时，结论显然成立。

假设时结论成立，即。

下证时，结论成立。

。

例3 求证对一切正整数，有。

证明：当时，结论成立。假设时，结论成立，即

。

下证 时，结论成立。

因为

。

由归纳假设  ，所以

而所以。

因此，对一切正整数，都有。

注意：证明中第二部的递推过程中需变形填加。

例4 设是一正数数列，对一切都有。证明：对一切，都有成立。

证明：当时，因为，

故  。

所以不等式成立。

假设时，不等式成立，即。

当时，由已知。

由归纳假设，则，

于是 ，则，有

。

综上，对一切正整数都有成立。

注意:递推变形，放大。

例5 设为实数，若，且

则 。

证明：时，易见。

假设对时成立，即。

当时，

                         

。

所以，对一切自然数，上述不等式成立。

例 6 实数数列满足:对任意的（正整数），都有。证明：对任意的，都有

证明：当时，命题显然成立。假设对所有小于的正整数都成立，即对，都有

。

我们记则由上述假设知，

即

。

上式两边都加上，可得

，

于是 。

由条件知，，

所以，    ，

于是有    。

因此，对任意，不等式成立。

注意：证明过程比较复杂，注意变形和利用归纳假设。

 

三、常见问题解析

 

例1 代数运算的本质是什么？

根据代数运算的定义，代数运算的本质是映射，通俗说法是两个得一个。

例2 第一数学归纳法和第二数学归纳法的区别是什么？

第二数学归纳法可以看作是第一数学归纳法的推论，第二数学归纳法的归纳假设条件除与第一数学归纳法相同的条件外，还增加了都成立，这是有别第一数学归纳法的。

例3 数学归纳法的两个步骤缺一是否可以？

不可以。例如，假设 对成立，那么我们可以推出时也成立。

事实上

由归纳法原理得出上述等式对一切自然数都成立。这是一个错误的结论。

原因是归纳法第一步没有验证，没有推理的基础。显然对一切自然数上述的等式都不成立。

再如 考虑等式。

当时，；

当时，；

当时，。

由此推出上述等式对一切自然数都成立。这个结论是错误的。这是因为没有一个科学的递推过程，结论仅是对1，2，3三个自然数验证的，实际上，当时，就有。因此，用数学归纳法证明问题时，第二步也是必不可缺的。由此可知数学归纳法的两个步骤缺一不可。