当前位置:课程学习>>第二章 一元多项式理论概述>>学习内容>>视频课堂>>知识点二
讲二个问题:(1)数域的概念;(2)一元多项式的概念
(1) 数域
根据所研究的问题,我们常常需要明确规定和考虑数域的范围.例如我们分别用表示自然数,整数,有理数,实数与复数的集合,并且
在复数集中有加法,减法,乘法与除法四种运算,称为四则运算.
为了方便,我们引入一些术语
设是复数集
的一个子集,如果对任何
,有
(“
”可以是
的加法,减法,乘法和除法(除法时分母不为
)),则称
对“
”运算封闭。
例2.2.1 对加法与乘法封闭,但对减法与除法(除法时分母不为
)不封闭。
例2.2.2 对加,减,乘,除法(除法时分母不为
)都封闭。
定义2.2.1 设是复数集的非空子集,如果满足条件:
(1);
(2)对四则运算都封闭,
则称是一个数域。
由例2.2.1知道,不是数域。由例2.2.2知道,
都是数域,分别称为有理数域,实数域,复数域。
例2.2.3 设, 则
是一个数域。
证明 因为,故
满足条件(1)。
设,
则
又设则
至少有一个不为0,从而
。
于是,
从而是一个数域。
显然
命题2.2.1 若是一个数域,则
。
证明 因为是数域,故
, 由
的封闭性知
。.
(2)一元多项式的概念
一元多项式的运算是大家熟知的,本节作一个简单的介绍,在这章里总假设是某个数域,
是一个符号(也称不定元,读者不妨把它看成一个变量)
定义2.2.2 设是一个非负整数,形式表达式
(2.2.1)
称为系数在数域中的一元多项式,或称为数域
上的一元多项式。
称为
次项,
称为
次项的系数;
称为常数项;若
,则称
是首项(最高项),
为首项系数,而
称为该多项式的次数,记为
。
若多项式中各项系数全为零,称此多项式为零多项式,记为,规定零多项式的次数为
,
的运算规则如下:
+所有整数=
,
+
=
,
<任何整数。
零次多项式就是一个非零常数 。
我们把上所有一元多项式的集合记为
,用
或
等符号表示一元多项式。
定义2.2.3 上两个多项式
称为相等,如果它们的各项系数都对应相等,即
此时,记为
下面讨论中加法,减法和乘法运算
定义2.2.4 中多项式
的和定义为
。
例2.2.4设,
则
。
容易验证加法有下列运算规律
加法结合律:
(1);
(2)加法交换律;
(3);
(4)设记
,则
称为的负多项式,并且有
。
有了负多项式的概念就可以定义多项式的减法
定义2.2.5 中多项式
的差定义为
。
即。
定义2.2.6 中多项式
的积定义为
。
如果记,其中
例2.2.5 设,则
。
容易证明乘法有下面的运算规律
(1)乘法结合律: ;
(2)乘法交换律 ;
(3);
(4)乘法对加法的分配律
;
。
以后把数域上一元多项式的全体
称为一元多项式环。
命题2.2.2
(1)对多项式的加法,有
;
(2)对于多项式的乘法,有
;
(3)当且仅当
或
。
推论2.2.3 多项式的乘法满足消去律:如果且
那么
。
证明 移项后有
由命题2.2.2知道,由可以推出
这也就是
。
边学边练
1.举出对加法,乘法封闭,但对减法不封闭的例子。
2.问下列数集是否是数域
(1)全体偶数集;(2)全体正实数集
;(3)
3.计算多项式与g
的和与乘积。
4.设,
,
试确定使得
。