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知识点二:一元多项式的概念


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讲二个问题:(1)数域的概念;(2)一元多项式的概念

(1) 数域  

根据所研究的问题,我们常常需要明确规定和考虑数域的范围.例如我们分别用表示自然数,整数,有理数,实数与复数的集合,并且

在复数集中有加法,减法,乘法与除法四种运算,称为四则运算.

为了方便,我们引入一些术语

是复数集的一个子集,如果对任何,有(“”可以是的加法,减法,乘法和除法(除法时分母不为)),则称对“”运算封闭。

例2.2.1 对加法与乘法封闭,但对减法与除法(除法时分母不为)不封闭。

例2.2.2 对加,减,乘,除法(除法时分母不为)都封闭。

定义2.2.1是复数集的非空子集,如果满足条件:

(1)

(2)对四则运算都封闭,

则称是一个数域。

由例2.2.1知道,不是数域。由例2.2.2知道,都是数域,分别称为有理数域,实数域,复数域。

例2.2.3 , 则是一个数域。

证明  因为,故满足条件(1)。

,

又设至少有一个不为0,从而

于是

从而是一个数域。

显然

命题2.2.1   若是一个数域,则

证明  因为是数域,故, 由的封闭性知。.

(2)一元多项式的概念

一元多项式的运算是大家熟知的,本节作一个简单的介绍,在这章里总假设是某个数域,是一个符号(也称不定元,读者不妨把它看成一个变量)

定义2.2.2  设是一个非负整数,形式表达式

             (2.2.1)

称为系数在数域中的一元多项式,或称为数域上的一元多项式。

称为次项,称为次项的系数;称为常数项;若,则称是首项(最高项),为首项系数,而称为该多项式的次数,记为

若多项式中各项系数全为零,称此多项式为零多项式,记为,规定零多项式的次数为的运算规则如下:

+所有整数=+=<任何整数。

零次多项式就是一个非零常数 

我们把上所有一元多项式的集合记为,用等符号表示一元多项式。

定义2.2.3  上两个多项式称为相等,如果它们的各项系数都对应相等,即

此时,记为

下面讨论中加法,减法和乘法运算

定义2.2.4 中多项式的和定义为

例2.2.4

容易验证加法有下列运算规律

加法结合律:

(1)

(2)加法交换律

(3)

(4)设,则

称为的负多项式,并且有

                          

有了负多项式的概念就可以定义多项式的减法

定义2.2.5 中多项式的差定义为

定义2.2.6 中多项式的积定义为

            

如果记,其中

例2.2.5,则

容易证明乘法有下面的运算规律

(1)乘法结合律: ;

(2)乘法交换律 

(3)

(4)乘法对加法的分配律

以后把数域上一元多项式的全体称为一元多项式环。

命题2.2.2

(1)对多项式的加法,有

(2)对于多项式的乘法,有

(3)当且仅当

推论2.2.3 多项式的乘法满足消去律:如果那么

证明 移项后有

由命题2.2.2知道,由可以推出这也就是

边学边练

1.举出对加法,乘法封闭,但对减法不封闭的例子。

2.问下列数集是否是数域

(1)全体偶数集;(2)全体正实数集;(3) 

3.计算多项式与g的和与乘积。

4.设

试确定使得