如果多项式既是的因式,又是的因式，就称为与的公因式。

定义2.4.1  设，如果多项式具有以下两条性质:

(1) 是与的公因式；

（2）与的公因式都是的因式，

则称为与的一个最大公因式

从定义立即得出，两个零多项式的最大公因式就是0；对于任意多项式,是与0的一个最大公因式.

对于中任意两个多项式，是否存在它们的最大公因式？如果存在,如何找出它们的最大公因式？进一步，它们的最大公因式是否唯一？本节将讨论这些问题。

引理2.4.1在内如果有以下等式：

，

那么和有相同的公因式，从而有相同的最大公因式集合。

证明 设是,的一个公因式，则, ，则有

所以是与的公因式.反之，如果是,的一个公因式，,，则有.所以是,的公因式

定理2.4.2 对于中任意两个多项式,,在中一定存在最大公因式，且与的任意最大公因式都可以表示成和的一个组合，即有中的多项式,，使得

=+                (2.4.1)

证明  如果=0，则就是与的一个最大公因式，并且

现在设，根据带余除法，用去除可得商式和余式,;如果，则用去除,可得商式与余式,;又如果,再用去除,可得到商式和余式,；如此辗转相除，所得余式的次数不断降低

＞＞＞…

因此在有限次后必然有余式等于0，不妨设是第一个等于0的余式，于是得到下列等式：

，

，

，

… …

，

… …

,

，

，

，0的一个最大公因式是，根据引理2.4.1，也是,的一个最大公因式；依此反推上去，就是,的一个最大公因式.

由上面的倒数第二个等式，得

再由倒数第三式

代入上式可消去,得到

用同样的方法由下至上逐个地消去,…,,最终得到

其中，.

由最大公因式的定义不难看出，如果，是与的两个最大公因式，那么一定有,也就是说与是相伴多项式，即=，。因此两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的。此时,我们约定,用表示首系数为的那个最大公因式，当时，规定。

定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法。

例2.4.1 设，  

，

求，并求，使得

+。

解  用辗转相除法

 

用等式写出来，就是

，

因之  。

而   

              

         

              ，

于是 。

定义2.4.2  如果的最大公因式则称与互素。

显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其它的公因式，反之亦然。

下面给出两个多项式互素的一个充分必要条件，它非常有用。

定理2.4.3 两个多项式互素的充分必要条件是存在,,使得

。

证明 必要性是定理2.4.2的直接推论.现在证充分性，设有，使得

再设， 从而

，

因此 , 即互素。

推论2.4.4 如果，且，则。

证明 由互素,可知存在,使得

。

等式两边乘以，得

。

因为，所以整除等式左端，从而。

推论2.4.5 如果,且，那么。

证明  由有使。

又因为  且，可得，从而存在，使得,故。

所以。

注意：当,由于最大公因式是通过辗转相除法得到的，它的系数不会超出数域的范围,所以,这就是说最大公因式与多项式的系数所在的域的扩张没有关系。

边学边练

1.求与的最大公因式，并把表示成与的一个组合。

(1),;

(2),。

2.设是首一多项式，证明

。

3.如果不全为零，证明

。

4.设,,且，证明：。