前面我们始终把多项式作为一个形式定义进行讨论，这一节我们将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式

设有里的一个多项式

，                   （2.7.1）

如果用一个数代替表达式中的字母，通过运算就得到上一个数：

称为当时的值，记为，这样，多项式就定义了数域上的一个函数：

这样定义的函数称为数域上的一个多项式函数

因为形式表达式中的在参与运算时遵循与数的运算相同的规则，因此由多项式的运算结果：

，

。

可以得出函数值的相应结果：

，

。

对于多项式的函数值，有下列重要的定理

定理2.7.1（余数定理）设，, 则用一次多项式除得到的余数就是函数值。

证明 设用去除的商式为。余式为一常数，于是

。

用代，得。

我们最关心的是函数值等于0的点，如果使得，则称为的一个根或零点，因此求的根就是解方程。

由余数定理可以得到根与一次因式的关系。

推论2.7.2 是多项式的根的充分必要条件是。

由这个关系，可定义重根的概念，如果是的重因式，就称为的重根，当=时，称为单根，当＞时，称为重根。

定理2.7.3 中的次多项式在数域中的根不超过个，其中重根按重数计算。

证明 当时结论显然成立。 假设＞，把分解成不可约因式的乘积，由推论2.7.2可知多项式在数域中的根的个数（重因式计算在内）等于分解式中一次因式的个数，后者显然不可能超过。

推论2.7.4 如果多项式，的次数都不超过，并且它们对个不同的数有相同的值，即

，

则。

证明  根据假设有 ，也就是说多项式有个不同的根，如果,则它是一个次数不超过的多项式，与定理2.7.3的结论矛盾，因此。

我们已经看到每个多项式都可以对应一个多项式函数，而且多项式的加法和乘法又分别与多项式函数的加法和乘法相对应，相等的多项式一定对应同一个多项式函数，反之，多项式函数的相等是指对于任意的都有

因为数域有无穷多个数，根据推论2.7.4，一定有，也就是说相等的多项式函数对应相等的多项式，这说明数域上的多项式既可以作为形式表达式的处理，也可以作为函数处理，其结果是相同的。

边学边练

1.设，判断是不是多项式的根，如果是的话，它是几重根？

2.求下列多项式的公共根

(1) ；

(2)。

3.如果，求。

4.证明 如果，则。

5.设，如果3是的二重根，求。