复数域的最重要的性质之一是如下的代数基本定理。

定理2.8.1（代数基本定理） 任何不是常数的复系数非零多项式一定有复数根。

这个定理的证明本课程中不讲，将来用复变函数论的结论，可以有很简单的证明。

根据推论2.7.2根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价叙述为：

定理2.8.2 任何次数大于的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式。

根据这个结论，在复数域上所有次数大于的多项式全是可约的，也就是说不可约多项式只能是一次多项式，因此可以得到复数域上多项式的因式分解定理

定理2.8.3 每个次数大于的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的乘积。

因此复系数多项式的标准分解式是

，

其中是不同的复数，是正整数，由标准分解式可得

推论2.8.4 每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）。

下面讨论实系数多项式的分解，首先给出实系数多项式的根的两条基本性质：

引理2.8.5 设，如果是的一个复根，那么的共轭也是的一个根。

证明  设

，，

由假设   ，

两边同时取共轭数，得。

所以是的根。

引理2.8.6 实数域上的不可约多项式只有一次与二次多项式，而且二次不可约多项式的复数根是一对共轭虚根.

证明：设是实数域上的不可约多项式，如果不是一次多项式那么它在复数域内的一个根不是实数，由引理2.8.5，也是的根，并且，于是

。

但是是实系数多项式，由于在实数域上不可约。所以，即的次数不超过，并且二次不可约多项式的根是一对共轭虚根。

利用上述引理可得到实系数多项式的因式分解定理。

定理2.8.7 每个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。

因此，实系数多项式在实数域上的标准分解式是

，

其中都是实数，是正整数，并且没有实数根，即＜（）。

代数基本定理显然肯定了次方程有个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法，高次方程求根的问题是一个相当复杂的问题，后面再去讨论。

例2.8.1 把在复数域和实数域上因式分解。

解：因为

                        ，

而的单位根为。       

在复数范围内 

                    ，

所以      。

又因为      ，

，

所以在实数范围内，

。

在中学已经学过二次方程的根与系数的关系，现在我们讨论次多项式的根与系数的关系。

设                       （2.8.1）

是一个首项系数为的（＞0）次多项式，那么在复数域中有个根，因而在中完全分解为一次因式的乘积

。                  （2.8.2）

展开这一等式右端的括号，合并同类项，然后比较（2.8.1）式与（2.8.2）式同次项的系数，就得到了根与系数的关系

 ，

，

,   （2.8.3）

… …

，

。

若是多项式的首项系数，这时根与系数的关系是：

，

，  （2.8.4）

… …

。

公式（2.8.4）就是著名的韦达定理，它给出了方程的根与系数之间的关系。

利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.

例如，求有单根5与-2以及二重根3的四次多项式，根据根与系数的关系，我们有

，

，

，

。

因此所求多项式是

，

或       

， 这里。

 

边学边练

 

1.分别求多项式在实数域和复数域上的标准分解式。

答案 实数域： ，复数域：。

2.分别求多项式在复数域和实数域上的标准分解式。

答案 实数域：，

复数域：。

3.已知多项式有一根，试求的所有根。

答案 。

4.已知为非负整数，求证。

答案 因为

 由于，所以

。

5.证明奇次实系数多项式至少有一个实根。

答案 反证. 假设没有实根，由实系数方程的复根是成对出现的，因此方程的次数是偶数次，这是矛盾.