有理数域上一元多项式的因式分解，作为因式分解定理的一个特殊情形，我们有每个次数的有理数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约，也不是一个容易解决的问题，这一点是有理系数域与实数域，复数域不同的，本节我们主要解决有理系数多项式的两个重要问题

第一，有理系数多项式的因式分解问题，可以归结为整系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。第二，在有理系数多项式环中指出有任意次数的不可约多项式。

设    

是一个有理系数多项式，选取适当的整数，使得成为一个整系数多项式。如果的系数的最大公因子是，则有

，

也就是                 

。

其中是整系数多项式，而且各项系数的最大公因子等于。

定义2.9.1 如果一个非零的整系数多项式的系数的最大公因子等于，就称为本原多项式。

例如 ，

令 ,则是整系数多项式，且是本原多项式。

由上面的讨论可以知道任何一个非零的有理系数多项式都可以分解成一个有理数与一个本原多项式的乘积：,而且可以证明，这种分解式是唯一的，即若有，则。

因为与 只相差一个常数倍，所以的因式分解问题可以归结为本原多项式的因式分解问题，而本原多项式的因式分解又有以下性质。

引理2.9.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

证明：设，

           

是两个本原多项式，它们的乘积是

。

如果不是本原多项式，那么，从而一定有一个素数是的系数的公因子，因为都是本原多项式，所以不能整除及的所有系数，因此一定存在指标，使得

，，

。

现在观察的系数

，

根据假设，但是整除右端所有其他项，因此，这与是的系数的公因子矛盾，所以也是本原多项式。

定理 2.9.2 如果一个整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

证明：设整系数多项式有分解式：

令，其中都是本原多项式，根据本原多项式分解的唯一性，有 ， 这表明是整数，从而是分解为次数较低的整系数多项式的乘积的分解。

从这个定理的证明可以得出

推论 2.9.3 设 是整系数多项式，是本原多项式，如果有分解，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数多项式。

    这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法。

定理 2.9.4  设

是一个整系数多项式，是它的一个有理根，其中互素，那么必有，特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子。

证明：因为是的有理根，所以，从而是的因式，即有有理系数多项式使得

。

因为互素，故是本原多项式，由推论2.9.3，是整系数多项式。

设

。

比较两边系数，得

因此  。

例2.9.1 求整系数多项式

的全部有理根。

解  ,的因子是：的因子是： 因此的有理根只可能是：，用综合除法检验这些数是不是的根：

因此；

所以。

类似地计算得

，

所以共有个有理根及。

注意：求整系数多项式的全部有理根时应理解为：

（1）并不是说一定有有理根；

（2）若是有理根（互素），必是常数项的因子，必是首系数的因子。至于当是的因子，是的因子时，有理数究竟是不是的有理根必须验证。

例2.9.2  证明 在有理数域上不可约。

证明：因为是次多项式，如果可约，一定有一次因式，即有有理根，但因的首项系数等于，因此它的有理根是常数为的因子，只能是但是

所以没有有理根，从而在有理数域上不可约。

注意：如果整系数多项式的次数大于，那么不能以没有有理根就推得不可约的结论。这是因为没有有理根，只是说明没有一次因式，但是可能有次数大于的因式，从而可能可约。

例2.9.3 设整系数多项式

显然没有有理根，但在有理数域上可约。

以上的讨论解决了我们提出的第一个问题，现在解决第二个问题。

定理2.9.5（艾森斯坦因判别法）设

   

是一个整系数多项式，如果能找到一个素数使得

（1），

（2），

（3），

那么在有理数域上不可约。

证明：如果在有理数域上可约，那么根据定理2.9.2，一定可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：

，

其中＜,， 因此。

由于，所以 。又因为 ，所以整除两者之一，且只能整除其中之一，不妨设，，由于不能全被整除，设其中第一个不能被整除的是，等式两边分别计算的系数，得

其中当＞时，设，上式中都能被整除，所以，由于是素数，所以或，这与前面的假设矛盾。

例2.9.4 证明在有理数域上不可约。

证明：取素数，不能整除首项系数能整除其它系数；不能整除常数项，由艾森斯坦因判别法，在有理数域上不可约。

定理2.9.6 有理数域上存在任意次数的不可约多项式。

证明：对任意的正整数，设，取素数，由艾森斯坦因判别法，所以在有理数域上不可约。由的任意性知有理数域上存在任意次数的不可约多项式。

注意，定理2.9.5只是给出了多项式在有理数域上是否可约的一个充分性条件，并不是必要条件，也就是说，找不到定理中的素数，多项式可能是可约的，也可能是不可约的，例如多项式与都不存在定理2.9.5中的素数，但前者在有理数域上不可约，后者却是可约。

 

边学边练

1.求下列多项式的有理根

（1）；

（2）；

（3）。

答案 ⑴ 单根；⑵无有理根；⑶  4重根， 单根。

2.下列多项式在有理数域上是否可约？

   （1）；

   （2）；

   （3）；

   （4），为奇素数。

答案 （1）取，由艾森斯坦因判别法知，不可约.

(2) 令。取，由艾森斯坦因判别法知，不可约.

(3)令，,取，由艾森斯坦因判别法知，不可约，故不可约.

(4)令，

          

          

由艾森斯坦因判别法知，不可约，故不可约.

3.设是整系数多项式，证明：如果都是奇数，则无整数根。

答案 反证.如有整数根，则，其中为整系数多项式.则与中至少有一个是偶数，从而中至少有一个为偶数，矛盾.