下面我们利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法.

§3我们看到,一个上三角形行列式

就等于它主对角线上元素的乘积

.

这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的级行列式化为上三角形行列式来计算.

为了便于叙述并考虑到以后的应用,我们引进矩阵及矩阵的初等行变换的概念.

定义5  由个数排成的行(横的)列(纵的)的表

                     

称为一个矩阵.

例如

是一个矩阵,

是一个矩阵.

数,,称为矩阵的元素,称为元素的行指标,称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域中的数时,它就称为这一数域上的矩阵,第二个是复数域上的矩阵.

矩阵也称为级方阵.一个级方阵

定义一个级行列式

称为矩阵的行列式,记作.

下面来定义矩阵的初等行变换.

定义6 所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：

1)以中一个非零的数乘矩阵的某一行；

2)把矩阵的某一行的倍加到另一行,这里是中任意一个数；

3)互换矩阵中两行中的位置.

一般来说,一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵.譬如说,把矩阵

第一行的倍加到第二行,就得到矩阵

当矩阵经过初等行变换变成矩阵时,我们写成

我们称形式如

,,

的矩阵为阶梯型矩阵.它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；如该行全为零,则它的下面的行也全为零.

可以证明,任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵.

事实上,设

我们看第一列元素,,,,只要其中有一个不为零,用初等行变换3),总能使第一列的第一个元素不为零,然后从第二行开始,每一行都加上第一行的一个适当的倍数,于是第一列除去第一个元素外就全是零了.这就是说,经过一系列初等行变换后

对于中右下角的一块

再重复以上的做法.如此作下去直到变成阶梯型为止.如果原来矩阵中第一列的元素全为零,那么就依次考虑它的第二列的元素,等等.例如,

设

.

这样就把变成了一个阶梯型矩阵.

现在回过来讨论行列式的计算问题.一个级行列式可看成是由一个级方阵决定的,对于矩阵可以作初等行变换,而行列式的性质2,6,7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯型方阵.由行列式性质2,6,7,对方阵每作一次初等行变换,相应地,行列式或者不变,或者差一非零的倍数,也就是

,.

显然,阶梯形方阵的行列式都是上三角形的,因此是容易计算的.

例  计算

.

解

这里,第一步是互换第两行,以下都是把第一行的倍数加到另一行。不难算出,用这个方法计算一个级数字行列式只需要做次乘法和除法.特别当比较大的时候,这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该看到,这个方法完全是机械的,因而可以用电子计算机按这个方法来计算行列式的计算.

最后我们指出,对于矩阵,我们同样地可以定义初等列变换,即

1）以数域中一非零数乘矩阵的某一列；

2）把矩阵的某一列的倍加到另一列,这里是中任意一个数；

3）互换矩阵中两列的位置.

为了计算行列式,我们也可以对矩阵进行初等列变换,有时候,同时用初等行变换和初等列变换,行列式的计算可以更简单些.

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.

边学边练

计算下列行列式