在§4我们看到,对于级行列式,有

        

现在就来研究这些,,究竟是什么.

我们知道,三级行列式可以通过二级行列式表示：

                      

与此相仿也是一些带有正、负号的级行列式.为了说明这一点,我们引入

定义7  在行列式

中划去元素所在的第行与第列,剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式

                  

称为元素的余子式,记为.

按这个定义, 可以改写为

下面就来证明

.                          

为此,我们先由行列式的定义证明级行列式与级行列式的下面这个关系,

                        

事实上,式左端行列式的展开式

中只有的项才可能不为零,而,因之左端为

.

显然是的排列,且

.

这就证明了.

为了证明,在中令

,,

即得

这里,第一步是依次地把第行与它下边的第一行对换,直到把它换到第行为止,这样一共换了次,因之行列式差一个符号；第二步是同样地把第列换到第列；再利用与显然的关系即得.

定义8 上面所谈到的称为元素的代数余子式.

这样,公式就是说,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和,在中,如果令第行的元素等于另外一行,譬如说,第行的元素,也就是

 ,,.

于是

  第 行

右端的行列式含有两个相同的行,应该为零,这就是说,在行列式中,一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.

基于行列式中行与列的对称性,在以上的公式和讨论中把行换成列也一样.综上所述,即得

定理3  设

,

表示元素的代数余子式,则下列公式成立：

               

              

用连加号简写为

   

在时,公式有明显的几何意义,如果把行列式的行看作向量在直角坐标系下的坐标,即设

,,,

那么

于是

,

,

.

在计算数字行列式时,直接应用展开式和不一定能简化计算,因为把一个级行列式的计算换成个级行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用公式或才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.

1. 行列式

这里第一步是按列展开,然后再按第一列展开,这样就归结到一个三级行列式的计算.

1. 行列式

                      

称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.我们来证明,对任意的,级范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差的乘积.

我们对作归纳法.

当时，

结果是对的。设对于级的范德蒙德行列式结论成立,现在来看级的情形.

在中，第行减去第的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上地从每一行减去它上一行的倍，有

后面这行列式是一个级的范德蒙德行列式,根据归纳法假设,它等于所有可能差的乘积；而包含的差全在前面出现了.因之,结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法,完成了证明.

用连乘号,这个结果可以简写为

由这个结果立即得出,范德蒙德行列式为零的充分必要条件是，，，，这个数中至少有两个相等.

例1 证明：

我们对用数学归纳法.

当时,的左端为

按第一行展开,就得到所要的结论.

假设对,即左端行列式的左上角是级时已经成立, 现在来看的情形,按第一行展开,有

这里第二个等号是用了数学归纳法假定,最后一步是根据按一行展开的公式.

根据归纳法原理,式普遍成立.

 

边学边练

1.求下列行列式的代数余子式

2. 求下列行列式

（1）； （2）

3. 计算阶行列式

（1）； （2）

4.已知，求的值。