现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑个数与方程未知量的个数相等的情形.以后会看到,这是一个重要的情形.至于更一般的情形留到下一章讨论.下面我们将退出与二元和三元线性方程组相仿的公式.

本节的主要结果是

定理4  如果线性方程组

              

的系数矩阵

               

的行列式

，

那么线性方程组有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为

,,,               

其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项,,,所成的矩阵的行列式,即

  

定理中包含着三个结论：1°方程组有解；2°解是唯一的；3°解由公式给出.这三个结论是有联系的,因此证明的步骤是：

1. 把带人方程组,验证它确是解.

2. 假如方程组有解,证明它的解必由公式给出.

在下面的证明中,为了写起来简短些,我们尽量用连加号连加号在前面我们已经用过几次,这样的符号用熟了有很大方便.

证明  1.把方程组简写为

                 

首先来证明的确是的解.把带入第个方程,左端为

                   

因为

所以

根据定理3中,有

这与第个方程的右端一致.换句话说,把带入方程使它们同时变成恒等式,因而带入方程使它们同时变成恒等式,因而的确为方程组的解.

2.设是方程组的解,于是有个恒等式

                     

为了证明,我们取系数矩阵中第列元素的代数余子式,,,用它们分别乘中个恒等式,有

,

这还是个恒等式.把它们加起来,即得

.                    

等式右端等于在行列式按第列的展开式中把分别换成,因此,它等于把行列式中第列换成所得的行列式,也就是.再来看的左端,即

由上节定理3中公式,

所以

于是，即为

也就是

也就是说，如果是方程组的一个解,它必为

因而方程组最多有一组解.

定理4  通常称为克拉默法则.

例  解方程组

方程组的系数行列式

因之可以应用克拉默法则.由于

所以方程组的唯一解为。

应该注意,定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组,它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形,将在下一章的一般情形中一并讨论.

常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组,我们关心的问题常常是,它除去零解以外还有没有其它解,或者说,它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组,应用克拉默法则就有

定理5  如果齐次线性方程组

的系数矩阵行列式那么它只有零解。换句话说，如果方程组有非零解，那么必有

证明  应用克拉默法则,因为行列式中有一列为零,所以

这就是说,它的唯一解是

例  求λ在什么条件下,方程组

有非零解.

根据定理5,如果方程组有非零解,那么系数行列式

所以.不难验证,当时,方程组确有非零解.

克拉默法则的意义在于它给出了解与系数的明显关系,这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的,因为按这一法则解一个个未知量个方程的线性方程组就要计算个级行列式,这个计算量是很大的.

边学边练

1.用克拉默法则解下列方程组：

解：。

2.求使齐次线性方程组

有非零解的值。

解：方程组有非零解，则系数行列式为零，即，

所以当时，方程组有非零解。

3.求一个二次多项式 ，使

解：。