现在来讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为

                 

的方程组,其中,,,代表个未知量,是方程的个数,称为方程组的系数,称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的一个指标表示它在第个方程,第二个指标表示它是的系数.

所谓方程组的一个解就是指由个数,,,组成的有序数组,当,,,分别用,,,带入后.中每个等式都变成恒等式.方程组的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合,它们就称为同解的.

显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说,线性方程组可以用下面的矩阵

                

来表示.实际上,有了之后,除去代表未知量的文字外,线性方程组就确定了,而采用什么文字来表示未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里我们学过用加减消元法解二元、三元线性方程组.实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.

先看一个例子

例如,解方程组

第二个方程减去第一个方程的倍,第三个方程减去第一个方程,就变成

第二个方程减去第三个方程的倍,把第二第三两个方程的次序互换,即得

这样,我们就容易求出方程组的解为.

分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所作的变换也只是由以下三种基本的变化所构成：

1.用一非零的数乘某一方程；

2.把一个方程的倍数加到另一个方程；

3.互换两个方程的位置.

于是,我们给出：

定义1  变换称为线性方程组的初等变换.

消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是把方程组变成同解的方程组.我们只对第二种初等变换来证明.

对方程组

                 

进行第二种初等变换.为简便起见,不妨设把第二个方程的倍加到第一个方程得到新方程组

                 

现在设是的任一解.因与的后个方程.又满足的前两个方程

,

.

把第二式的两边乘以,再与第一式相加,即为

.

故又满足的第一个方程,因而是的解.类似地可证的任一解也是的解.这就证明了与是同解的.

对另外两种初等变换,证明由读者去做.

下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组.

对于方程组,首先检查的系数.如果的系数,,,全为零,那么方程组对没有任何限制,就可以取任意值,而方程组可以看作,,的方程组来解.如果的系数不全为零,那么利用初等变换,可以设.利用初等变换,分别地把第一个方程的倍加到第个方程.于是方程组就变成

                 

其中

,,.

这样,解方程组的问题就归结为解方程组

                   

的问题.显然,的一个解,带入的第一个方程就定出的值,这就得出的一个解；而的解显然都是的解.这就是说,方程组有解的充分必要条件为方程组有解,而与是同解的,因之,方程组有解的充分必要条件为方程组有解.

对再按上面的考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便,不妨设所得到的方程组为

                       

其中,.方程组中的“”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不影响的解.而且与是同解的.

现在考察的解的情况.

如中有方程,而.这时不管,,取什么值都不能使它成为等式.故无解,因而无解.

当是零或中根本没有“”的方程时,分两种情况：

1) .这时阶梯形方程组为

                             

其中,.由最后一个方程开始,,,,的值就可以逐个地唯一地决定了.在这个情形,方程组,也就是方程组有唯一的解.

例1 上面讨论过的方程组

经过一系列初等变换后,它变成了阶梯形方程组

把代入第二个方程,得

.

再把,代入第一个方程,即得

.

这就是说,上述方程组有唯一的解.

1） .这时阶梯形方程组为

其中,.把它改写成

                    

由此可见,任给,,一组值,就唯一地定出,,,的值,也就是定出方程组的一个解,一般地,由我们可以把,,,通过,,表示出来,这样一组表达式称为方程组的一般解,而,,称为一组自由未知量.

例2 解方程组

用初等变换消去,得

改写一下,

               

最后得

这就是方程组的一般解,其中是自由未知量.

从这个例子看出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就是的样子,但是只要把方程组中的某些项调动一下,总可以化成的样子.

应该看到,的情形是不可能出现的.

以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是,首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的一些恒等式“”（如果出现的话）去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数,那么方程组无解,否则有解.在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数,那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数,那么方程组就有无穷多个解.

把以上结果应用到齐次线性方程组,就有

定理1  在齐次线性方程组

中,如果,那么它必有非零解.

证明  显然,方程组在化成阶梯形方程组之后,方程的个数不会超过原方程组中方程的个数,即

.

由得知,它的解不是唯一的,因而必有非零解.

矩阵 

                 

称为线性方程组的增广矩阵.显然,用初等变换化方程组成阶梯形就相当于用初等变换化方程组成阶梯形矩阵.因此,解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行,而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解,在有解的情形,回到阶梯形方程组去解.

例3  解

对它的增广矩阵作初等行变换,

从最后一行可以看出原方程组无解.