在上一节我们定义了向量组的秩，如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是有这些行向量组成的. 同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列量组成的.

定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.

例如，矩阵

的列向量组是

，

， .

可以证明，，，是向量组，，，的一个极大线性无关

组. 事实上，由

，

即

，

可得，这就证明了，，线性无关. 因为是零向量，所以把添进去就线性相关了，因此，向量组，，，的秩为3，也就是说，矩阵的秩为3. 的 列向量组是

，，

，.

用同样的方法可证，，，线性无关而，所以把添进去就线性相关了. 因之，，，是向量组，，，的一个极大线性无关组，于是向量组，，，的秩为3. 换句话说，矩阵的秩也是3.

矩阵的行秩等于列秩，这一点不是偶然的，下面来一般地证明行秩与列秩是相等的.

作为一个准备，我们先利用行秩的概念把定理1（§1）改进如下.

引理  如果齐次线性方程组

     

的系数矩阵

=

的行秩，那么它有非零解.

证明  以，，，代表矩阵的行向量组，因为它的秩

为，所以极大线性无关组是由个向量组成. 无妨设，，

是一个极大线性无关组. 我们知道，向量组，，，，与，，是等价的，也就是说，方程组与方程组

     

可以互相线性表出，因而方程组与同解. 对于方程组应用§1定理1，即得所要的结论.

由此就可以证明：

定理4  矩阵的行秩与列秩相等.

证明  设所讨论的矩阵为

，

而的行秩= ，列秩=. 为了证明，我们先来证.

    以，，，代表矩阵的行向量组，无妨设，，是它的一个极大线性无关组. 因为，，是线性无关的，所以方程

只有零解，这也就是说，齐次线性方程组

只有零解. 由引理，这个方程的系数矩阵

的行秩 . 因之在它的行向量中可以找到个是线性无关的，譬如说，向量组

，，，

线性无关. 根据上一节的说明，在这些向量上添加几个分量后所得的向量组

，，

，

也线性无关. 它们正好是矩阵的个列向量，由它们的线性无关性可知矩阵的列秩至少是，也就是说.

用同样的方法可证. 这样，我们就证明了行秩与列秩的相等.

因为行秩等于列秩，所以下面就称为矩阵的秩.

现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联系起来. 先看矩阵的情形.

定理  矩阵

 

的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.

证明  先证充分性. 因为的秩小于，所以得个行向量组线性无关. 当时，只有一个数，即只有一个一维向量，

它又是线性相关的向量组，就是零向量，从而. 当时，矩阵中有一行是其余各行的线性组合. 由行列式的性质可知.

再证必要性. 我们对作数学归纳法.

当时，由可知的仅有的一个元素就是零，因而的秩为零.

假设结论对级矩阵已证，现在来看级矩阵的情况.我们以，，，代表的行向量. 检查的第一列的元素，如果他们全为零，那么的列向量组中含有零向量，当然秩小于. 如果这个元素中有一个不为零，譬如说，那么从第二行直到第行减去第一行的适当的倍数，把

消成零，即得

，

其中

，.

由可知级矩阵

的行列式为零. 根据归纳法假定，这个矩阵的行向量线性相关. 因而向量组

线性相关，这就是说，有不全为零的数使

.

改写一下，有

.

这组数当然也不全为零，从而向量组，，，线性相关，它的秩小于.

根据归纳法原理必要性得证.

根据这个定理，可以得到有关齐次线性方程组的重要结论.

推论 齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵

的行列式等于零.

证明  条件的充分性可以由定理及引理直接得出。

条件的必要性是克拉默法则的直接推论.

为了建立一般矩阵的秩跟行列式的关系，我们引入

定义   在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的级行列式，称为的一个级子式.

在定义中，当然有，这里表示中较小的一个.

例  在矩阵

中，选第行和第列，它们交点上的元素所成的二级行列式

就是一个二级子式. 又如选第行和第列，相应的级子式就是

.

由于行和列的选法很多，所以级子式也是很多的.矩阵的秩与行列式的关系表现为：

定理   一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.

证明  先证必要性. 设矩阵的秩为. 这时由定理知矩阵中任意个行向量都线性相关，矩阵的任意级子式的行向量也线性相关. 由定理，这种子式全为零. 现在来证矩阵中至少有一个级子式不为零. 因为

的秩为，所以在中有个行向量线性无关，譬如说，就是前个行向量. 把这行取出来. 作一新的矩阵

.

显然矩阵的行秩为，因此它的列秩也是 ，这就是说，在中有列线性无关. 不妨假设前列线性无关，因之，行列式

.

它就是矩阵中一个级子式. 这就证明了必要性.

再证充分性. 设在中有一级子式不为零，而所有的级子式全为零. 我们证明的秩为.

首先我们指出，由行列式按一行展开的公式可知，如果 的级子式为零，那么的级子式也一定为零，从而的所有级数大于的子式全为零.

设的秩为. 由必要性，不能小于，否则的级子式就全为零了. 同样，也不能大于，否则就要有一个级子式不为零，而按照假定这是不可能的. 因之，这就是我们要证明的结论.

 从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵的秩的充分必要条件是为有一个级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩的充分必要条件为  的所有级子式全为零. 有时候，这两个结论可以分开来用.从定理的证明还可以看出，在秩为的矩阵中，不为零的  级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组.

最后我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩. 在前面，作为解线性方程组的一个方法，我们对矩阵作行的初等交换，把矩阵化成阶梯形. 实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.

首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组. 我们知道，等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩. 同样地，初等列变换也不改变矩阵的秩.

其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目. 为了证明这个结论，只要证明在阶梯形矩阵中那些非零的行线性无关就行了. 设是一阶梯形矩阵，不为零的行数是. 因为初等列变换部改变矩阵的秩，所以适当变换列的顺序，不妨设

，

其中，.  显然，的左上角的级子式

，

因此，的秩为.

上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.

以上的讨论还说明了，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.