在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组解得问题，给出线性方程组有解的判定条件.

设线性方程组为

            

引入向量

，，，

，，                   

于是线性方程组可以改写成向量方程

               

显然，线性方程组有解的充分必要条件为向量可以表示成向量组，，，的线性组合. 用秩的概念，方程组有解的条件可以叙述如下：

定理 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩.

证明  先证必要性，设线性方程组有解，就是说，可以经向量组，，，线性表出. 由此立即推出，向量组，，，与向量组，，，，等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别是矩阵与的列向量组. 因此，矩阵与有相同的秩.

再证充分性. 设矩阵与有相同的秩，就是说，它们的列向量组，，，与，，，，有相同的秩，令它们的秩为. ，，，中的极大线性无关组是由个向量组成，无妨设 ，，，是它的一个极大线性无关组. 显然 ，，，也是向量组，，，，的一个极大线性无关组，因此向量可已经，，，线性表出. 既然可已经，，，线性表出，当然它可以经，，，线性表出. 因此方程组有解.

应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的. 我们知道，用消元法解方程组的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形. 这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：

或者             ，

其中，，. 在前一种情形，我们说原方程组无解，而在后一种情形方程组有解. 实际上，把这个阶梯形矩阵中最后一列去掉，那就是线性方程组的系数矩阵经过初等行变换所化成的阶梯形. 这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加时，方程组无解.

以上的说明也可以认为是判别定理的另一种证明.

根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.

这个解法有时在理论上是有用的.

设线性方程组有解，矩阵与的秩都等于，而是矩阵的一个不为零的级子式（当然它也是的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设位于的左上角.

显然，在这种情况下，的前行就是一个极大线性无关组，第行都可以经它们线性表出. 因此，方程组

与

         

同解.

当时，由克拉默法则，方程组有唯一解，也就是方程组有唯一解.

当时，将方程组改写为

    

 作为的一个方程组，它的系数行列式. 由克拉默法则，对于的任意一组值，方程组，也就是方程组，都有唯一的解. 就是方程组的一组自由未知量. 对用克拉默法则，可以解出:

              

就是方程组的一般解.