现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系. 下面要定义的运算时矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.

为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.

.加法

，

是两个矩阵，则矩阵

称为和的和，记为

.

矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加. 当然，相加的矩阵必须有相同的行数和列数. 由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证，它有

结合律：；

交换律：.

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起混乱的时候，可简单地记为. 显然，对所有的，

.

矩阵

称为矩阵的负矩阵，记为. 显然有

.

矩阵的减法定义为

.

例  在§我们看到，某一种物资如果有个产地，个销地，那么一个调运方案就可表示为一个矩阵，矩阵中元素表示由产地要运到销地的这种物资的数量，比如说吨数. 如果从这些产地还有另一种物资要运到这些销地，那么，这种物资的调运方案也可表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵. 显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.

根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出秩秩+秩

.乘法

再给出乘法定义之前，我们先看一个引出矩阵乘法的问题.

设和是两组变量，它们之间的关系为

                       

又如是第三组变量，它们与的关系为

                           

由，不难看出与的关系：

                   

如果我们用

                           

来表示与的关系，比较 ，，就有

                      

用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵

，

分别表示变量与以及之间的关系，那么表示与之间关系的矩阵

就由公式决定. 矩阵称为矩阵与的乘积，记为

一般地，我们有：

定义   设

，，

那么矩阵

，

其中

，                   

称为与的乘积，记为

.

由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵与的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素乘积的和. 当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.

例   设

，，

那么

乘积的矩阵中各个元素是根据公式得出的，例如，第二行第一列的元素是矩阵的第二行元素与矩阵的第一列对应元素乘积之和：

        .

其余可类似得到.

例   如果

是一线性方程组的系数矩阵，而

，

分别是未知量和常数项所成的和矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式

.

例   在空间中作一坐标系的转轴. 设由坐标系到的坐标变换的矩阵为

，

如果令

，，

那么坐标变换的公式可以写成

.

如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系到第三个坐标系的坐标变换公式为

，

其中

，.

那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为

.

矩阵的乘法适合结合律. 设

，，，

我们证明

.

令

，，

其中

  ，

 .

因为

中的第行第列元素为

，                    

而

中的第行第列元素为

，                    

由于双重连加号可以交换次序，所以与的结果是一样的，这就证明了结合律.

但是，矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来，

.

这是由于，一方面在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义. 所以，当有意义时，不一定有意义. 另一方面即使与都有意义，它们的级数也不一定相等，因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数. 如上面例中，是一矩阵，而是一矩阵. 即使相乘的矩阵都是矩阵，这时，与都有意义，而且都是矩阵，但它们也不一定相等. 例如，

， ，

，

而

.

在这个例子中我们还看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点. 由此还可得出矩阵乘法的消去律不成立. 即当时不一定有. 读者由上面的例子的启发可以举出类似的例子.

定义   主对角线上的元素全是，其余元素全是的矩阵

称为级单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简单写为. 显然有

，

.

矩阵的乘法和加法还适合分配律，即

，                        

.                          

这两个式子的证明留给读者自己来作. 应该指出，由于矩阵的乘法不适合交换律，所以与是两条不同的规律.

我们还可以定义矩阵的方幂. 设是一矩阵，定义

换句话说，就是个相乘. 当然，方幂只能对行数与列数相等的矩阵来定义. 由乘法的结合律，不难证明

，

，

这里，是任意正整数. 证明留给读者去做. 因为矩阵乘法不适合交换律，所以与一般不相等.

.数量乘法

定义   矩阵

称为矩阵与数的数量乘积，记为. 换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上.

不难验证，数量乘积适合以下的规律：

，                       

，                      

，                          

，                            

.                      

我们只证明等式，其余留给读者证明. 设

，，

在，，中,的元素依次为

 今后表示第行第列交叉处的位置.

 

,

,

.

显然它们是一样的，这就证明了等式.

矩阵

通常称为数量矩阵. 作为的特殊情形，如果是一矩阵，那么有

.

这个式子说明，数量矩阵与所有的矩阵作乘法是可交换的.

可以证明：如果一个级矩阵与所有的级矩阵作乘法是可交换的. 那么这个矩阵一定是数量矩阵（参看习题）. 再有，

，

，

这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.

.转置

把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置，记为. 可确切地定义如下：

定义  设

，

所谓的转置就是指矩阵

.

显然，矩阵的转置是矩阵.

矩阵的转置适合以下的规律：

，                           

，                       

，                         

.                          

表示两次转置就还原，这是显然的. ,也很容易验证.现在来看一下. 设 

， .

中的元素为

，

所以中的元素就是

.                              

其次，中的元素是，中的元素是，因之，中的元素即为

.                          

比较，即得.

例    设   

，.

于是

，

，

.