这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.

定义   由单位矩阵一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵. 互换矩阵的行与行的位置，得

用数域的非零数乘的行，有

把矩阵的行的倍加到行，有 

同样可以得到与列变换相应的初等矩阵. 应该指出，对单位矩阵做一次初等列变换 所得到的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中. 譬如说，把的列的倍加到列，我们任然得到. 因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.

利用矩阵乘法的定义，立刻可以得到

引理  对一个矩阵 作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.

证明  我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明.令为任意一个矩阵，，，，作为的行向量.由矩阵的分块乘法，

，

特别，令，得

这相当于把的行与行互换. 令，得

，

这相当于用乘的行. 令，得

这相当于把的行的倍加到行.

不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵. 事实上

，，

.

在第二章§ 我们看到，用初等行变换可以化简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步简化. 为了方便，我们引入：

定义   矩阵与称为是等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到.

等价是矩阵间的一种关系.  不难证明，它具有反身性、对称性与传递性.

定理   任意一个矩阵都与一形式为

的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上的个数等于的秩（的个数可以是零）.

证明  如果，那么它已经是标准形了. 以下无妨假定. 经过初等变换，一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵.

当时，把其余的行减去第一行的倍，其余的列减去第一列的倍. 然后，用乘第一行，就变成

.

是一个的矩阵. 对在重复以上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形.

显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以的个数也就是的秩.

例  用初等变换将下列矩阵化为标准形，

解

 

根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵. 因之，矩阵，等价的充分必要条件是有初等矩阵使

                   

级可逆矩阵的秩为，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由即得

定理   级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：

.

 

由此即得

推论   两个矩阵，等价的充分必要条件为，存在可逆的级矩阵，与可逆的级矩阵使

.

把改写一下，有

.                   

因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作初等行变换，所以说明了

推论   可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵

以上的讨论提供了求逆矩阵的方法. 设是一级可逆矩阵. 由推论，有一系列的初等矩阵使

，                     

 

由即得

.                  

 

,两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到.

把，这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵

，

按矩阵的分块乘法，,可以合并写成

.        

 式提供了一个具体求逆矩阵的方法. 作矩阵 ，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，右边一半就是.

例  设

，

求.

于是

 .

当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.