我们知道，位移、力、速度与加速度等都是矢量，而时间、质量等都是数量，这些矢量与数量间常常会发生某些结合的关系，如我们熟知的公式

,

这里表示力，表示加速度， 表示质量。再如公式

,

这里表示位移, 表示速度， 表示时间。

在矢量的加法中，我们也已看到，个矢量相加仍然是矢量，特别是个相同的非零矢量相加的情形，显然这时的和矢量的模为的 n 倍， 方向与相同。 个相加的和常记做或 。

定义1   实数与矢量的乘积是一个矢量，记做，它的模是； 的方向，当时与相同，当时与相反。我们把这种运算称为数量与矢量的乘法，简称为数乘。

从这个定义我们立刻知道，当或时，, 所以，这时就不必讨论它的方向了， 当时，就是的反矢量，因此我们常常把简写做。

已知矢量和它的单位矢量，下面的等式显然成立：

，或。            ( 1.3−1 )

由此可知，一个非零矢量乘以它的模的倒数，结果是一个与它同方向的单位矢量。

定理1  数量与矢量的乘法满足下面的运算规律：

1 )                 ；             ( 1.3−2 )

2 ) 结合律      ；               ( 1.3−3 )

3 ) 第一分配律                  ( 1.3−4 )

4 ) 第二分配律   。              ( 1.3−5 )

这里为矢量，为任意实数。

证  

1 ) 根据定义1， ( 1.3−2 ) 显然成立。

2 ) 证明结合律成立。

当或中至少有一为0时，( 1.3−3 ) 显然成立。当 ，时，矢量 与的模都等于，从而它们的模相等；而它们的方向，当与同号时，都与的方向一致；当与异号时，都与的方向相反，因此矢量与的方向相同，

所以有                 。             

3)  证明第一分配律成立。

如果，或及中至少有一个为，那么等式 显然成立。

因此我们只须证明当的情形。

( i )  如果，这时显然与同向，且

,

所以（图1－13）    。

( ii )  如果，不失一般性，可设，再区分和两种情形。 下面只证前一种情形，后一种情形可相仿证明。 假定，，。这时有， 根据(i)有

               ,

所以                .

4) 证明第二分配律成立。

如果或之中有一个为，等式显然成立，因此，这里只须对的情形进行证明。

( i )  如果共线，当同向时，取；当反向时，取，这样显然有, 因此根据(1.3-3)与(1.3-4)有

 

( ii )  如果不共线，那么如图1−14 所示，显然由为两边构成的与由为两边构成的相似，因此对应的第三边所成矢量满足

,

但                

,

所以                

.

从矢量的加法与数乘矢量的运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算，例如

.

例1 设是的中线，求证 .

证 如图1－15所示，

有          

,

所以         

,

但           

,

因而           

,

即              

.

例2 用矢量法证明：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。

证  设的边之中点分别为（图1－16），那么

 

所以,且。

由此例可见，用矢量运算可以比较简洁地证明一些几何命题。