设已知空间的一点与一轴，通过作垂直于轴的平面，我们把这个平面与轴的交点称为点在轴上的射影(图1-27)。

 

定义1  设矢量的始点和终点在轴上的射影分别为点和，那么矢量称为矢量在轴上的射影矢量(图1-28)，记作射影矢量。

如果在轴上取与轴同方向的单位矢量，那么有

射影矢量

这里的称为矢量在轴上的射影，记做射影，

即射影                .

我们也可以把射影矢量与射影分别写为射影矢量与射影，

并且可以分别称为在上的射影矢量与在上 的射影，两者之间的关系是：

射影矢量 =射影        （1.6-1）

射影的数值显然与和的夹角的大小有关，现在来规定两矢量的夹角。

设是两个非零矢量，自空间任意点作，我们把由射线和构成的角度在与之间的角（显然这角度与点的选取无关）称为矢量与的夹角，记做. 按规定，若与同向，那么；如果与反向，那么；如果不平行于，那么.

定理1  矢量在轴上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：

射影          （1.6-2）

证  当时，命题显然成立. 当时，过二点分别垂直于轴的平面, 它们与轴之交点分别是,那么射影矢量。再作, 易知终点必在平面上.

因为，所以,为直角三角形，且（图1-30）. 设为轴上与同方向的单位矢量，那么

。

所以               

射影。

当 时，与同向，

 

当时， ，与反向，

,

从而当时，总有

射影.

推论1   相等矢量在同一轴上的射影相等。

定理2  对于任何矢量有

射影射影射影.       (1.6-3)

证  取, 那么(图1-31) ， 设分别 是在轴上的射影，那么显然有

;,

射影矢量，

射影矢量，

射影矢量 

射影矢量射影矢量+射影矢量. 由（1.6-1）得

射影 =（射影 射影

其中为轴上与同向的单位矢量，所以

射影 =射影 射影 

或          

>射影射影射影 

定理3  对于任何矢量与任意实数有

射影射影.            （1.6-4）

证  如果或, 命题显然成立.

设, 且, 那么当时，有

,

∴  射影射影

当时，有

 

∴  射影射影

因此（1.6-4）成立.

例  设在直角坐标系下，矢量,

试证明：射影，射影，射影。

证  设径矢,那么在坐标轴上的射影即为在坐标轴上的射影.

设点在轴,轴,轴上的射影分别为（图1-32），那么

射影矢量,

射影矢量,

射影矢量.

由矢量在轴上的射影定义得： 射影，射影，射影