空间曲线，可以看成两个曲面的交线。设

                      (2.4-1)

是这样的两个曲面方程，它们相交于曲线。这样曲线上的任意点同时在两曲面上，它的坐标就满足方程组(2.4-1)；反过来满足方程组(2.4-1)的任何一组解所决定的点，同时在两曲面上，即在两曲面的交线上，因此方程组(2.4-1)表示一条空间曲线的方程，我们把它叫做空间曲线的一般方程。

从代数上知道，任何方程组的解，也一定是与它等价的方程的解，这说明空间曲线可能用不同形式的方程组来表达。

例1  写出轴的方程。

解  轴可以看成是两坐标平面与的交线，所以轴的方程可以写成

                      (1)

由于方程组(1)与方程组

                    (2)

同解，所以轴的方程也可用(2)来表示。

例2  求在坐标面上，半径等于，圆心为原点的圆的方程。

解  因为空间的圆总可以看成是球面与平面的交线，在这里可以把所求的圆看成是以原点为球心，半径为的球面与坐标平面的交线，所以所求的圆的方程为

                 (3)

因为方程（3）与方程组

                    (4)

同解，所以所求圆的方程也可以用(4)来表达。这就是说所求圆也可以看成是以轴为对称轴，半径为，母线平行于轴的圆柱面与坐标平面的交线。

因为球面与圆柱面都通过所求的圆，所以所求圆的方程也可以用方程组

来表达。

空间曲线也象平面曲线那样，可用它的参数方程来表达，这是另一种表示空间曲线的常用方法，特别是把空间曲线看做质点的运动轨迹时，一般常采用参数表示法

空间曲线的参数方程与平面曲线的参数方程完全类同。在空间建立了坐标系后，设矢函数

                    (2.4-2)

或

           (2.4-3)

当在区间内变动时，的终点全部都在空间曲线上；反过来，空间曲线上的任意点的径矢都可由的某个值通过(2.4-2)或(2.4-3)来表示，那么(2.4-2)或(2.4-3)就叫做空间曲线的矢量式参数方程，其中为参数。

因为空间曲线上点的径矢的分量为，所以空间曲线的参数方程常写成

              (2.4-4)

表达式(2.4-4)叫做空间曲线的坐标式参数方程，其中为参数。

例3  一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动，另一方面作平行于轴线的匀速直线运动，其速度与角速度成正比，求这个质点运动的轨迹方程。

解  在空间取标架，使轴重合于轴线，并设质点运动的起点为，质点作圆周运动的角速度为，那么在秒后质点从起点运动到的位置（图2-17），在坐标面上的射影为，那么

（这里假设直线运动速度与角速度之比为，即），因此有

         (2.4-5)

这就是质点运动轨迹的矢量式参数方程，其中为参数，它的坐标式参数方程为：

                      (2.4-6)

设，那么(2.4-5),(2.4-6)分别写成

       (2.4-5’)

与

                     (2.4-6’)

其中为参数，这条曲线叫做圆柱螺旋线。

从(2.4-6’)消去参数，可以得到圆柱螺旋线方程的一般式为

                           (2.4-7)

比较(2.4-6’)与(2.4-7)，我们可以看出参数方程(2.4-6’)不仅表示出明确的质点运动的意义，而且从它也比较想象出轨迹的图形。因此在有些问题中，空间曲线的参数方程将显示出它的优越性。

例4  已知一半径为的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼(Viviani)曲线，试建立维维安尼曲线的一般方程与参数方程。

解  如图2-18所示，取球心为坐标原点，通过球心的圆柱面的一条母线为轴，过球心的圆柱面的直径为轴建立右手直角坐标系，那么球面与圆柱面的方程分别为

  与 

因此维维安尼曲线的一般方程为

                        (5)

为了要求得维维安尼曲线的参数方程，我们也可以象把平面曲线的普通方程化为参数方程那样由（5）得到。先把（5）式中的圆柱面方程

利用平面上圆的参数方程改写为

代入球面方程  得

因此我们有

         (6)

与

    (7)

但如果令，即，代入（7），那么（7）就变成（6）的形式

所以维维安尼曲线的参数方程为

它的图形如图2-18所示。

通过空间曲线作柱面，使其母线平行于坐标轴或轴，设这样的柱面方程分别为

                  (2.4-8)

这三个柱面分别叫做曲线对与坐标面的射影柱面，因此(2.4-1)所表示的曲线，可以用它的对三个坐标面的任意两个射影柱面来表示。要求出(2.4-8)，可以从(2.4-1)分别消去一个元而得到，因此在代数上从两个三元方程消去一个元，这样的几何意义就是求空间曲线的射影柱面，例如从

分别消去及，得

前一个射影柱面是一个准线在坐标面上的圆

母线平行于轴的圆柱面，而后一个射影柱面是一个准线在坐标面上的抛物线，母线平行于轴的抛物柱面，因此曲线可以看成是这两价目柱面的交线，它的形状如图2-19。从这里我们可以看到，得用空间曲线的射影柱面来表达维维安尼曲线，对我们认识空间曲线的形状是有限的。