1.  由平面上一点与平面的方位矢量决定的平面方程  

在空间给定了一点与两个不共线的矢量，那么通过点且与矢量平行的平面就唯一地被确定，矢量叫做平面的方位矢量，显然任何两个与平行的且不共线矢量都可以作为平面的方位矢量。

在空间，取标架，并设点的矢径，平面上的任意一点的矢径为，显然点在平面上的充要条件为矢量与共面，因为不共线，所以这个共面的条件可以写成

又因为，所以此式可改写为：

即

                      (3.1-1)

方程(3.1-1)叫做平面的矢量式参数方程，其中为参数。

如果设点的坐标分别为，那么

并设   

那么由(3.1-1)得

                   (3.1-2)

(3.1-2)叫做平面的坐标式参数方程，其中为参数。

从(3.1-1)或两边与作数量积，消去参数得

                     (3.1-3)

从(3.1-2)消去参数得

               (3.1-4)

(31.-1)、(3.1-2)、 (3.1-3)、 (3.1-4)都叫做平面的点位式方程。

例1  已知不共线三点，求通过三点的平面的方程。

解  取平面的方位矢量，并设点为平面上的任意一点（图3-2），那么

因此平面的矢量式参数方程为：

                  （3.1-5）

坐标式参数方程为：

                （3.1-6）

从(3.1-5)与(3.1-6)分别消去参数得

                   (3.1-7)

与

                (3.1-8)

(3.1-8)又可改写为

                     (3.1-8’)

方程(3.1-5)——(3.1-8’)都叫做平面的三点式方程。

作为三点式的特例，如果已知三点为平面与三坐标轴的交点（其中）（图3-3），那么由(3.1-8)得

把它展开可写成

由于，上式可改写为

                     (3.1-9)

(3.1-9)叫做平面的截距式方程，其中分别叫做平面在三坐标轴上的截距。

2. 平面的一般方程  

因为空间任一平面都可以用它上面的一点和它的方位矢量确定。因而任一平面都可以用方程(3.1-4)表示，把(3.1-4)展开就可写成：

                  (3.1-10)

其中

因为不共线，所以不全为零，这表明空间任一平面都可以用关于的三元一次方程来表示。

反过来，也可证明，任一关于变元的一次方程(3.1-10)都表示一个平面。事实上因为不全为零，不失一般性，可设，那么(3.1-10)可改写成

即

显然，它表示由点和两个不共线矢量和所决定的平面，因此我们证明了关于空间中平面的基本定理：

定理1  空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变量的一次方程；反过来，每一个关于变量的一次方程都表示一个平面。

方程(3.1-10)叫做平面的一般方程。

现在来讨论(3.1-10)的几种特殊情况，也就是当(3.1-10)中的某些系数或常数项等于零时，平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况。

1），(3.1-10)变为，此时原点满足方程，因此平面通过原点；反过来，如果平面通过原点，那么显然有。

2）中有一为零，例如，(3.1-10)就变为

当，轴上的任意点都不满足方程，所以平面与轴平行；而当时，轴上的每一点都满足方程，这时轴在平面上，即平面通过轴。反过来容易知道，当平面(3.1-10)平行于轴时，当(3.1-10)通过轴时，。

对于，或的情况，可以得出类似的结论。

因此，由1)与2）我们有：

当且仅当，平面(3.1-10)通过原点。

当且仅当，平面(3.1-10)平行于轴（轴或轴）；

当且仅当，平面(3.1-10)通过轴（轴或轴）。

3）中有两个为零的情况，我们由1）与2）立刻可得下面的结论：

当且仅当，平面(3.1-10)平行于坐标面（面或面）；

当且仅当，平面(3.1-10)即为坐标面（面或面）。

例2  求通过点与，且平行于轴的平面的方程。

解  设平行于轴的平面方程为

因为它又要通过与，所以有

由上两式得

所以所求的平面方程为

3．平面的法式方程  

如果在空间给定一点和一个非零矢量，那么通过点且与矢量垂直的平面也唯一地被确定，把与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或简称平面的法矢。

在空间直角坐标系下，设点的矢径为，平面上的任意一点的矢径为（图3-4）。显然点在平面上的充要条件是矢量与垂直，这个条件可写成

                          （3.1-11）

如果设       ，

那么

于是又3.1-11）可表示成：

                (3.1-12)

方程(3.1-11)与(3.1-12)都叫做平面的点法式方程。

如果记，那么(3.1-12)即成为

由此可见，在直角坐标系下，平面的一般方程(3.1-10)中一次项系数有简明的几何意义，它们是平面的一个法矢量的分量。

如果平面上的点特殊地取为自原点向平面所引垂线的垂足，而的法矢量取单位法矢量，当平面不过原点时，的方向取做与矢量相同（图3-5）；当平面通过原点时，的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，设 那么点的矢径，因此根据(3.1-11)，由点和法矢量决定的平面的方程为：

式中是平面上任意点的径矢。因为，所以上式可写成

                        (3.1-13)

(3.1-13)叫做平面的矢量式法式方程。

如果设，那么由(3.1-13)得

              (3.1-14)

(3.1-14)叫做平面的坐标式法式方程或简称为法式方程。

平面的法式方程(3.1-14)是具有下列两个特征的一般方程：

1）一次项的系数是单位法矢量的分量，它们的平方和等于1；

2）因为是原点到平面的距离，所以常数项。

根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程(3.1-10)，即化为平面的法式方程。事实上，是平面的法矢量，而，所以(3.1-10)可写成

把(3.1-15)与(3.1-13)比较可知，只要以                     (3.1-15)

乘(3.1-10)就可得法式方程：

   (3.1-16)

其中的正负号选取一个，使它满足，或者说当时，取的符号与异号；当时，的符号可以任意取（正的或负的）。

我们在前面已指出，在直角坐标系下，平面的一般方程(3.1-10)中一次项的系数为平面的一个法矢量的分量，在这里我们又看到等于原点到这平面的距离。平面的一般方程(3.1-10)乘上取定符号的以后，便可得支平面的法式方程(3.1-16)，通常我们称这个变形为方程(3.1-10)的法式化，而因子 （在取定符号后） 就叫做法式化因子。

例3  已知两点与，求线段的垂直平分面的方程。

解  因为矢量垂直于平面，所以平面的一个法矢量为            

所求平面又通过的中点，因此平面的点法式方程为

化简整理得所求平面的方程为

例4  把平面的方程化为法式方程，求自原点指向平面的单位法矢量及其方向余弦，并求原点到平面的距离。

解  因为 。

所以取法式化因子

将已知的一般方程乘上，即得法式方程：

原点指向平面的单位法矢量为，方向余弦为，原点到平面的距离为。