定义  在直角坐标系下，由方程

                     (4.4-1)

所表示的曲面叫做椭球面，方程(4.4-1)叫做椭球面的标准方程，其中为任意的正常数，通常假定。

现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的一些最简单的性质。

因为方程(4.4-1)仅含有坐标的平方项，可见当满足(4.4-1)时，点也一定满足，其中正负号可任意选取，所以椭球面(4.4-1)关于三坐标平面，三坐标轴与坐标原点都对称。椭球面的对称平面，对称轴与对称中心分别叫做它的主平面，主轴与中心。椭球面(4.4-1)与它的三对称轴即坐标轴的交点分别为，这六个点叫做椭球面(4.4-1)的顶点。同一条对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度与叫做椭球面(4.4-1)的轴，轴的一半即中心与各顶点间的线段及它们的长度与叫做椭球面(4.4-1)的半轴，当时，与分别叫做椭球面的长轴，中轴与短轴，而与分别叫做椭球面的长半轴，中半轴与短半轴。

显然任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面。而三轴相等的椭球面就是球面。例如当时，方程(4.4-1)就变成(4.3-1)，它是一个扁形旋转椭球面；而当时，方程(4.4-1)就变成(4.3-2)，而当时，方程(4.4-1)就变成(2.2-2)，它是一个球面。所以旋转椭球面与球面都是椭球面(4.4-1)的特例。椭球面(4.4-1)当三轴不等时，叫做三轴椭球面。

因为椭球面(4.4-1)上的任何一点的坐标总有

                      

因此椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个 长方体由六个平面：所组成。

为了能够看出曲面的大致形状，我们考虑曲面与一组平行平面的交线，这些交线都是平面曲线，当我们对这些平面曲线的形状都已清楚时，曲面的大致形状也就看出来了，这就是所谓利用平行平面的截口来研究曲面图形的方法，简称为平行截割法，为了方便起见，常取与坐标面平行的一组平面。

如果用坐标面分别来截割球面(4.4-1)，那么所得截口都是椭圆（图4-8），它们的方程分别是

                           (1)

                            (2)

                            (3)

椭圆（1），（2），（3）叫做椭球面(4.4-1)的主截线（或主椭圆）。

以下我们不妨取平行于坐标面的一组平行平面来截割椭球面(4.4-1)，因为用平行于其它坐标面的平面来截割，情况类似。以平面截割(4.4-1)，得到的截线方程是

                       (4)

当时，（4）无图形，这表示平面与椭球面(4.4-1)不相交；当时，（4）图形是平面上的一个点或；当时，（4）的图形是一个椭圆，这个椭圆的两半轴分别是

                  及

它的两轴的端点分别是与，容易知道两轴的端点分别在椭圆（2）与（3）上（图4-9）。这样椭球面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在平面与面平行，且两轴的端点分别在另外两个定椭圆（2）与（3）上滑动。

图4-9是椭球面(4.4-1)的图形。

椭球面的方程除了用标准方程(4.4-1)来表达外，也用参数方程

                      (4.4-2)

来表达，其中为参数。如果从 (4.4-2) 式中消去参数，那么就得(4.4-1)。

例  已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆与点，求这个椭球面的方程。

解  所求椭球面的轴与三坐标轴重合，故设所求椭球面的方程为

它与面的交线为椭圆

与已知椭圆

比较得         

又因为椭球面通过点，所以又有

所以              

因此所求椭球面的方程为