定义  在空间，一条曲线绕着直线旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的旋转轴，简称为轴。

显然，旋转曲面的母线上的任意点在旋转时形成一个圆，这个圆也就是通过点且垂直于轴的平面与旋转曲面的交线，我们把它叫做纬圆或称纬线。在通过旋转轴的平面上，以为界的每个半平面都与曲面交成一条曲线，这些曲线显然在旋转中都能彼此重合，这曲线叫做旋转面的经线。

现在来求旋转曲面的方程。

在空间直角坐标系下，设旋转曲面的母线为

                                   (1)

旋转轴为直线

                                (2)

这里为轴上的一个定点，为旋转轴的方向数。

设是母线上的任意点，那么过的纬圆总可以看成是过且垂直于旋转轴的平面与以为中心，为半径的球面的交线，所以过的纬圆的方程为：

当点遍历整个母线时，就得出旋转曲面的所有的纬圆，这些纬圆生成旋转曲面。

又由于在母线上，所以又有

从（3），（4），（5），（6）四个等式消去参数最后得一个三元方程。

                  

这就是以（1）为母线，（2）为旋转轴的旋转曲面的方程。

例1  求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程。

解  设是母线上的任意一点，因为旋转轴通过原点，所以过的纬圆方程是

由于在母线上，所以又有

即

              (9)

由（7），（8），（9）三式消去得所求旋转曲面为

即      

由于旋转曲面的经线，总可以作为最初的母线来产生旋转曲面。因此为了方便，今后总是取旋转曲面的某一条经线（显然是平面曲线）作为旋转曲面的母线。在直角坐标系下导出旋转曲面的方程时，我们又常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取做坐标轴，这时旋转曲面的方程具有特殊形式。

例2 母线所在坐标面面，旋转轴取做轴的旋转曲面方程。

设旋转曲面的母线为

                              (10)

旋转轴为轴

             (11)

如果为母线上的任意点，那么过的纬圆为

且有

             (14)

从（12），（13），（14）三式消去参数得所求旋转曲面的方程为

          (15)

同样，把曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程是

          (16)

对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可以类似的求出，这样我们就得出如下的规律：

当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。

例3  将椭圆

                         (17)

分别绕长轴（即轴）与短轴（即轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。

解  因为旋转轴是轴，同名坐标就是，在方程中保留坐标不变，用代，便得椭圆（17）绕其长轴（即轴）旋转曲面方程为

                            (4.3-1)

  同样将椭圆（17）绕其短轴（即轴）旋转的曲面方程为

                            (4.3-2)

曲面(4.3-1)叫做长形旋转椭球面（图4-3），曲面(4.3-2)叫做扁形旋转椭球面（图4-4）。

例4 将双曲线

                                     (18)

绕虚轴（即轴）旋转的旋转曲面方程为

                                     (4.3-3)

绕实轴（即轴）旋转的旋转曲面方程为

                                     (4.3-4)

曲面(4.3-3)叫做单叶旋转双曲面（图4-5），曲面(4.3-4)叫做双叶旋转双曲面（图4-6）。

例5 将抛物线

                                        (19)

绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为

                                       (4.3-5)

曲面(4.3-5)叫做旋转抛物面（图4-7）

例6  将圆

                       (20)

绕轴旋转所得旋转曲面的方程。

解  因为绕轴旋转，所以在方程中保留不变，而用代，就得将圆（20）绕轴旋转而成的旋转曲面方程为

即           

或           

这样的曲面叫做环面（图4-8），它的形状象救生圈。