学习指导

一、内容提要

1.基本概念

1）柱面、锥面、旋转曲面、椭球面、双曲面、抛物面、直纹曲面；

2）单叶双曲面和双曲抛物面上的直母线的性质.

2.基本结论

1）锥顶在坐标原点的锥面总可以表示成关于的齐次方程；

2）当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标；

3）单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面；双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交；

4）单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面。

3.基本方法

1）利用准线与定方向求出柱面方程的方法；

2）利用准线与锥顶求出锥面方程的方法；

3）利用纬圆与旋转轴求出旋转曲面的方法；

4）利用平行平面截割法研究空间曲面的方法.

4.需要说明的问题

1）关于圆柱面的方程求解问题.

既可以利用准线与轴求出柱面方程，也可以利用圆柱面上的点到轴的距离相等的几何特征求解圆柱面方程。

2）关于圆锥面的方程求解问题.

既可以利用准线与锥顶求出圆锥面方程，也可以利用圆锥面上的母线与轴的夹角的大小为定值的几何特征求解圆锥面方程。

3）关于单叶双曲面或双曲抛物面上同族的直母线位置关系问题；异族的直母线位置关系的问题.

需要利用上一章判定两直线的位置关系的相关知识，并且要会熟练运用直母线方程求方向数。

二、精选例题解析

例  作出曲面与平面，三坐标面所围成的立体在第一卦限部分的立体图形。

解  为抛物柱面，它的母线平行于y轴，准线为xOz面上的抛物线，抛物线的顶点为，焦参数，开口方向与z轴的方向相反。

平面平行于z轴，它与xOy面的交线是一条直线，这条直线与x轴，y轴分别交于点，。

为了画出这张立体图，还必须画出已知抛物柱面与平面的交线，为此我们设想用一平行于yOz的平面来截割它们，那么截得一矩形ABCD（图4-20），其中AD为抛物柱面的母线，D为交线上的点，这样我们就得到下面描绘交线上的任意点的方法：在抛物线弧SP上任取一点A，过A作抛物柱面的母线AD，再作AB//z轴，交x轴于B，过B作BC//y轴，交PQ于C，再过C作直线CD//BA，交AD于D点，那么D即为交线上的点。用此方法可得交线上一系列的点，把这些点连结起来，即得所求抛物柱面与平面的交线。所求立体图如图4-20所示。

【注】在空间曲线或空间几何体的作图问题中，往往要利用该空间曲线的向着三个坐标面的射影柱面和在三个坐标面上的射影曲线去作图。