现在我们来讨论二次曲线

     （1）

与过点且具有方向的直线

                         （2）

的交点。把（2）代入（1），经过整理得关于的方程

      （3）

利用前面的记号，（3）可写成

     （4）

方程（3）或（4）可分以下几种情况来讨论。

1）。这时（4）是关于的二次方程，它的判别式为

这时又可分为三种情况：

a) 。方程（4）有两个不等的实根与，代入（2），便得直线（2）与二次曲线（1）的两相不同的实交点。

b) 。方程（4）有两个相等的实根与，代入（2），这时直线（2）与二次曲线（1）有两个相互重合的实交点。

c) 。方程（4）有两个共轭的虚根，代入（2），这时直线（2）与二次曲线交于两个共轭的虚点。

2） ，这时又可分为三种情况：

a) 。这时（4）是关于的一次方程，它有唯一的一个实根，所以直线（2）与二次曲线（1）有唯一的实交点。

b) 。而。这时（4）为矛盾方程，方程（4）无解，所以直线（2）与二次曲线（1）没有交点

c) 。这时方程（4）成为一个恒等式，它能被任何值（实的或虚的）的所满足，所以直线（2）上的一切点都是（1）与（2）的公共点，也就是说直线（2）全部在二次曲线上。