1．二次曲线的渐近方向

上一节中，我们知道，二次曲线

     （1）

和具有方向的直线

                         （2）

当满足条件

                       （3）

时，或者只有一个实交点，或者没有交点，或者直线（2）全部在二次曲线（1）上，成为二次曲线的组成部分。

定义1  满足条件的方向叫做二次曲线（1）的渐近方向，否则叫做非渐近方向。

因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，所以渐近方向所满足的（3）总有确定的解。

如果，那么把（3）改写成

得

如果，把（3）改写成

得

如果，那么一定有，这时（3）变为

即              或  

这时          

从上我们看到，当且仅当时，二次曲线（1）的渐近方向是一对共轭的虚方向；时，（1）有一个实渐近方向；时，（1）有两个不同的实渐近方向。因此二次曲线的渐近方向最多有两个，显然二次曲线的非渐近方向有无数多。

定义2  没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个不同的实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。

因此二次曲线（1）按其渐近方向可能分为三种类型，即

（1）椭圆型曲线：

（2）抛物型曲线：

（3）双曲型曲线：

2．二次曲线的中心与渐近线

上一节中，我们知道，当直线（2）的方向为二次曲线（1）的非渐近方向时，

即当  时，

直线（2）与二次曲线（1）总交于两个点（两不同的实点，两重合的实点或一对共轭虚点）。我们把由这两点决定的线段叫做二次曲线的弦。

定义3  如果点是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而是二次曲线的对称中心），那么点叫做二次曲线的中心。

根据这个定义，当点为二次曲线（1）的中心时，那么过以（1）的任意非渐近方向为方向的直线（2）与二次曲线（1）交于两点，点就是弦的中点。因此将（2）代入（1）得

此时有                 

即

因为为任意非渐近方向，所以（4）式是关于的恒等式，从而有

反过来，适合上面两式的点，显然是二次曲线的中心。

这样我们就得到了下面的定理：

定理1：  点是二次曲线（1）的中心，其充要条件是

           (5.2-1)

推论  坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含与的一次项。

 

所以，二次曲线（1）的中心坐标由下列方程组决定

             (5.2-2)

如果，那么(5.2-2)有唯一解，这时二次曲线（1）将有唯一中心，(5.2-2)的解即为中心的坐标。

如果，即，那么当时，(5.2-2)无解，二次曲线(1)没有中心；而当时，(5.2-2)有无数多解，这时直线（或）上的所有点都是二次曲线（1）的中心，这条直线叫做中心直线。

定义4  有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线。

根据这个定义与(5.2-2)，我们得二次曲线（1）按其中心的分类：

（1）中心曲线：；

（2）非中心曲线；，即，

1） 无心曲线：，

2）线心曲线：。

从二次曲线的按渐近方向与按中心的两种初步的分类中，容易看出，椭圆型曲线与双曲型曲线都是中心曲线，而抛物型曲线是非中心曲线，它包括无心曲线与线心曲线。

定义5  通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做这二次曲线的渐近线。

显然，椭圆型曲线只有两条虚渐近线而无实渐近线，双曲型曲线有两条实渐近线，而抛物型曲线中的无心曲线无渐近线，至于线心曲线它有一条实渐近线，就是它的中心直线。

定理2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上，成为二次曲线的组成部分。

证  设直线（2）是二次曲线（1）的渐近线，这里为二次曲线的中心，为二次曲线的渐近方向，那么我们有

因此根据上一节中的直线与二次曲线的相交情况的讨论，我们有：当点不在二次曲线（1）上，即时，渐近线（2）与二次曲线（1）没有交点；当点在二次曲线（1）上，即时，渐近线（2）全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分。