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现在我们来讨论二次曲线
(1)
与过点且具有方向
的直线
(2)
的交点。把(2)代入(1),经过整理得关于的方程
(3)
利用前面的记号,(3)可写成
(4)
方程(3)或(4)可分以下几种情况来讨论。
1)。这时(4)是关于
的二次方程,它的判别式为
这时又可分为三种情况:
a) 。方程(4)有两个不等的实根
与
,代入(2),便得直线(2)与二次曲线(1)的两相不同的实交点。
b) 。方程(4)有两个相等的实根
与
,代入(2),这时直线(2)与二次曲线(1)有两个相互重合的实交点。
c) 。方程(4)有两个共轭的虚根,代入(2),这时直线(2)与二次曲线交于两个共轭的虚点。
2) ,这时又可分为三种情况:
a) 。这时(4)是关于
的一次方程,它有唯一的一个实根,所以直线(2)与二次曲线(1)有唯一的实交点。
b) 。而
。这时(4)为矛盾方程,方程(4)无解,所以直线(2)与二次曲线(1)没有交点
c) 。这时方程(4)成为一个恒等式,它能被任何值(实的或虚的)的
所满足,所以直线(2)上的一切点都是(1)与(2)的公共点,也就是说直线(2)全部在二次曲线上。