定义1  如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点。

现在，我们求经过二次曲线

     (1)

上的点的切线方程。因为通过的直线总可写成

                         (2)

那么根据前面两节中的讨论，容易知道直线（2）为二次曲线（1）的切线的条件，当时是

     (5.3-1)

因为在（1）上，所以；因而(5.3-1)可以化为

                 (5.3.2)

当时，直线（2）成为二次曲线（1）的切线的条件除了外，唯一的条件仍然是(5.3.2)。

如果与不全为零，那么由(5.3.2)得：

因此过的切线方程为：

或写成

或

             (5.3.3)

如果，那么(5.3.2)变为恒等式，切线的方向不能唯一地被确定，从而切线不确定，这时通过的任何直线都和二次曲线（1）相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线。

定义2  二次曲线（1）上满足条件的点叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点。

这样我们就得到了下面的定理。

定理1  如果是二次曲线（1）的正常点，那么通过的切线方程是(5.3-3)，是它的切点，如果是二次曲线（1）的奇异点，那么通过的切线不确定，或者说通过点的每一条直线都是二次曲线（1）的切线。

推论  如果是二次曲线（1）的正常点，那么通过的切线方程是

    (5.3-4)

证  把(5.3-3)改写为

再根据本章预备知识中介绍的恒等式，上式以可写为

              (5.3-5)

即

从而得(5.3-4)。

公式(5.3-4)便于记忆，记忆的方法是在原方程（1）中，

把          

写成       

然后第一项中一个或用或代入后，写成

就得出(5.3-4)。

例1  求二次曲线在点的切线方程。

解法一  因为，且

所以是二次曲线上的正常点，因此由(5.3-3)得在点的切线方程为

即              

解法二  因为是曲线上的正常点，所以直接利用(5.3-4)得切线方程为

即。        

例2  求二次曲线通过点的切线方程

解法一  因为，所以点不在曲线上，所以不能直接应用公式(5.3-3)或(5.3-4)。

因为过点的直线可以写成

其中为参数，为直线的方向数。又因为

所以根据直线与二次曲线的相切条件(5.3-1)得

化简得           

从而有         

再过点的直线方程得

代入上式得       

所以            

这两直线的方向分别为与，显然它们都不是已知二次曲线的渐近方向，所以这两直线就是所求点的切线。

解法二  设过的切线与已知二次曲线相切于点，那么切线方程为

即

              (3)

因为它通过，所以满足方程，将代入化简得

                      (4)

另一方面点在曲线上，所以又有

联立解（4），（5）得切点坐标

   与  

将切点坐标代入（3）得所求的切线方程为

       与