运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能。《标准》在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：

第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的量；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。

第二学段：体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。

第三学段：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。

运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，成为不可或缺的内容。

《标准》所提出的课程目标中的很多方面，如：获得“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等，都与运算的学习有关，运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。

一、对运算能力的认识

根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。

《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

《标准》是在总目标的四个方面之一的“数学思考”中提出运算能力的：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。”这说明运算能力是数学思考的重要内涵。不仅如此，运算能力对《标准》在总目标中提出的其他三个方面——知识技能、问题解决和情感态度的目标的整体实现，同样是不可缺少的基本条件。

二、运算能力的特征

运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成的。要使学生通过各种运算和对代数式、方程、不等式的变形以及重要公式的推导，通过用概念、法则、性质进行简单的推理，发展逻辑思维能力。

运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。

首先要保证运算的正确，为此，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。如前所述，在每一学段，《标准》对运算提出的要求，都是和相关的数学知识一并提出的。

然后，在适度训练，逐步熟悉的基础上，清楚地意识实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算的顺畅，力求避免失误。

一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解则体现了运算的普适性。一题多解和多题一解的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理和简洁。

要充分重视估算。《标准》在每个学段的学段目标和内容标准中，都强调了估算，提出了具体的要求，配备了一定数量的案例。

第一学段：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（案例3）；能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（案例6）。第二学段：理解估算的意义。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（案例23）；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（案例26，案例27）；会用方格纸估计不规则图形的面积（案例33）。第三学段：掌握必要的运算（包括估算）技能；能用有理数估计一个无理数的大致范围（案例47）；经历估计方程解的过程（案例52）；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

估算是重要的运算技能，进行估算需要掌握一定的方法，需要积累一定的经验，需要避免出现过大的误差；估算又是运算能力的特征之一，进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，需要使估算的结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。

运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。

适度性：运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成，在这一过程中，安排一定数量的练习，完成一定数量的习题是必不可少的。题量过少，训练不足，难以形成技能，更难以形成能力；然而题量过多，搞成题海战术，反而会使学生产生厌学情绪，适得其反。目前，学生的课业负担过重，数学课程的作业量过大是重要原因之一。把握学习内容的要求，进行适量训练，科学安排，应是发展运算能力的要求。

层次性：安排一定数量的练习，完成一定数量的习题对形成运算能力不可缺少，但训练的难度一定要适当，要从数学教学的全局出发，合理调控。义务教育的主要任务是打基础，数学尤其如此，训练题要有一定的数量，更要有合理的质量。以二次根式为例，如果没有最简二次根式的概念，没有分母有理化的要求，就会使教学无所适从，既造成教学的困惑，又影响高中阶段的进一步学习。

但搞得过分繁琐，则必然加重学生的负担，浪费时间和精力。为此，《标准》附录中安排了案例48：计算（1）；（2）。并在题后的说明中指出：运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算，根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如，等。事实上，在高中的数学运算中，还会遇到诸如的根式化简，需要有适当的训练；但如果把诸如的题目也安排为训练题，那就过于繁琐，过分强调技巧，增加了负担，对今后学习的作用也不大，应当避免。由此可见，层次性也是发展运算能力的要求。

阶段性：由前可知，《标准》对运算和运算能力的要求是分学段提出的，每个学段的要求都体现了一定的学段特征，力求符合学生的认知规律，这是完全必要的，适宜的。这也表明，阶段性也应是发展运算能力的要求。

三、运算能力的培养与发展

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，首先伴随着数学知识的积累和深化。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能，发展运算能力的前提。运算能力的培养与发展自然包括运算技能的逐步提高，而更应引起关注的是运算思维素质的提升和发展。在义务教育阶段，运算能力的培养、发展要经历如下过程：

1. 由具体到抽象

第一学段理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。第三学段掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；掌握合并同类项和去括号的法则，进行简单的整式减法、减法和乘法运算；利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算；解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加减消元法，解二元一次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。

无论是学习和掌握数与式的运算，解方程和解不等式的运算，一开始总是和具体事物相联系的，以后逐步脱离具体事物，抽象成数与式，方程与不等式的运算。直至到高中阶段进行更为抽象的符号运算，如集合的交、并、补等运算，命题的或、且、非等运算。运算思维的抽象程度，是运算能力发展的主要特征之一。

2. 由法则到算理

学习和掌握数与式的运算，解方程和解不等式的运算，在反复操练，相互交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对怎么算？怎样算的好？为什么要这样算？等一系列问题的思考，这是由法则到算理的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。

《标准》规定了一系列与算理相关的内容。

第二学段：探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

第三学段：除了“理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算”外，算理的内容和要求进一步强化，在学习方程解法之前，要求“掌握等式的基本性质”；在学习不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性质”；为此，《标准》提供了案例53：小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？在此案例中，不仅给出了详细的解题方案和过程，并指出：这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。在一元二次方程的内容中，《标准》不仅设置了“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”，而且增加了“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”；“*了解一元二次方程的根与系数的关系”等内容，表明不仅要学习和掌握解一元二次方程的运算方法，更要思考和领悟解一元二次方程的算理。

3. 由常量到变量

函数在第三学段是重要的内容。函数概念的引入，运算对象从常量提升到变量。运算的内容更加丰富多彩，《标准》中不仅有“能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值”；“会利用待定系数法确定一次函数的表达式”；“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标”等直接进行运算的内容；还包括与运算密切相关的内容，如：“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”；“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”；“结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论”；“根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况”；“能根据已知条件确定反比例函数的表达式”；“根据图像和表达式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况”；“*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”。

由常量到变量，表明运算思维产生了新的飞跃，运算能力也发展到一个新的高度。

4. 由单向思维到逆向、多向思维

逆向思维是数学学习的一个特点。在第二学段，《标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”。在第三学段，又增加了乘方与开放的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数，微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之一。

运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。

在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系，相互制约，又相辅相成，更加需要思考不同的思维方向，不同的解题思路和不同的解题方法，通过比较，加以择优选用。这是运算思维达到一个新的高度的重要标志，是运算能力的培养与发展的高级阶段。

由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要学生引导进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练，灵活多样，合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。