一、空间观念的含义与意义

几何学是最早成为人们以课程的形式进行学习的科目。19世纪以前的两千多年里，欧氏几何一直在课程中占有统治地位，然而，随着几何学自身的发展、数学在社会发展中的应用，几何作为课程的地位、价值的认识也在发生着变化。二十世纪以来，关于欧氏几何作为中小学课程内容的有关争论从未间断过。但是，无论争论如何，空间想象力却是被较为一致的认为是数学诸多能力中的重要组成部分。空间观念作为空间想象力发展的基础受到普遍的重视，也成为我国义务教育阶段几何课程的主要目标之一。

心理学把人对头脑中已有表象进行改造，创造出新形象的过程称作想象。关于空间想象力的含义，林崇德（1991）指出，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。

曹才翰提出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。同时他指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。空间观念至少反映了如下的5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出或画出图形。

全美数学教师理事会（NCTM）指出，空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知；对于2—3维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面。

关于发展学生的空间观念的意义，数学家和数学教育研究者都有相关的描述。数学家阿蒂亚（M．Atiyah）认为，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的。

荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔（Freudenthal，1989）指出，几何是对空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。

全美数学教师理事会在《美国学校数学课程与评价标准》提到，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。几何的模型提供了一个透视图，从中，学生可以分析和解决问题，而且几何的解释还可以帮助学生形成一个抽象的（符号的）表示，使人更容易理解。

的确，一方面，空间与人类的生存密切相关，了解、探索和把握我们生活的空间能使人类更好地生存、活动和利用空间。另一方面，空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造，因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先要对自己的创造物进行想象，然后可能是模型的构建，这里的模型包括图形和实物，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象和创造的探求过程，也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换，利用直观进行思考的过程。空间观念和空间想象力在这个过程中起着至关重要的作用。

基于这样的分析与认识，我们可以更好地理解《标准》把“空间观念”作为义务教育数学课程的核心概念的缘由与意义。

二、《标准》中空间观念所包含的内容

《标准》中没有具体给出空间观念的内涵，而是从是否具有空间观念的几个表征出发对其进行描述。《标准》是从四个方面加以刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

《标准》对空间观念的描述，是在义务教育阶段通过图形与几何内容的学习对学生在这些方面的要求以及需要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。

1.根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体

有研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径。“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”的过程，是三维图形与二维图形的相互转换的基本表现形式，这是一个充满观察、想象、比较、推理和抽象的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解与把握。

由实物或几何体再到视图，经历了抽象以及从三维图形到二维图形转化的过程，而由视图到几何体或实物，则实现了从二维图形到三维图形的转换。此外，几何体与侧面展开图、几何体与用平面去截所得的截面等，都蕴含着三维图形与二维图形的相互转换。

画出物体的三视图，就需要在头脑加工的基础上，把观察到的经过了想象、抽象后的再现出来的纪录下来，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。

2. 想象出物体的方位和相互之间的位置关系

方位与现实生活是密切联系的，也是个体对空间把握能力的一个具体的体现，对方位的感知和图形相互之间位置关系的把握，是表现空间观念的一个重要的方面。

“想象物体的方位和相互之间的位置关系”，在不同的问题情境中有不同的想象的水平要求。在给出包含四个方向并注明中心点的方位结构中判断某一物体的相对于中心的方位，是最基本的层次；只给出一个方向（如北），判断物体之间的位置关系，就需要学生更复杂一些的想象力了，同时推理也是必要的。

例如，下图是一张动物园的示意图，根据图中所标的位置回答下列问题：

（1）熊猫馆在猴山的哪个方向上？

（2）大象馆在海洋馆的哪个方向上？

进一步可以再改变观测点，描述与其他物体的相对方位。

3.描述图形的运动和变化

图形的运动既有形式上的（平移、旋转、翻折、放大、缩小等），也有运动的方向上的。对图形的运动和变化的描述，更具有综合性，它要求对相关知识和内容的理解，同时需要观察、想象并再现图形的运动和变化过程，无论是语言表述还是图形刻画这个过程，也同样是把空间观念从感知推向一种可以把握的能力。

例如，描述从学校到家的路线示意图，并注明方向及途中的主要参照物。

学生需要回忆实际的路线，想象它经过的各个环节的方向，学生也可以借助实物模拟路线，进一步画出路线的简单示意图。这其中涉及到的方位实际上比单纯描述物体的方位又复杂了一些，它是一种综合的运用。

4.依据语言的描述画出图形

这里所要求的想象空间是很开放的，可以是具体的图形，或具有某种大小或位置关系的一组图形，等等。当有人向你描述你看不到的情境时，你需要根据他人的描述构建符合原形的直观想象，阐述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析和操作，准确地反映出描述的结果，体现了操作者对其中涉及的图形的关系等的把握的能力，其核心也是空间观念。

三、空间观念的培养

空间观念的培养，是一个长期的经验积累的过程，因此对教学的要求有别于具体的几何知识，但它又是在几何知识的学习中体现的。NCTM（全美数学教师理事会，1989）指出，发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。例如，几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力，如会运用象“上面”、“下面”和“后面”等一些词语，画出一个图形旋转900或1800以后的图形，作图、折叠，让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形，等等，这些活动将有助于发展他们的空间观念。

事实上，在图形与几何课程的学习中，还是可以利用很多的素材和机会发展学生的空间观念的，主要是我们如何来认识和利用这些素材和机会。

1. 促进空间观念发展的课程内容

《标准》中不仅将发展空间观念作为核心概念和目标，同时，在三个学段都重视了发展学生空间观念的内容的设置，这些在本书的内容分析部分都有提及。

例如，第一、二学段的“图形与运动”、“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是发展学生空间观念的很好的素材；第一、二学段中的从不同方向观察物体、运用基本图形拼图，以及基本几何体的展开图等，也都是旨在发展学生空间观念的课程内容。

在第三学段，“图形的变化”中的各种图形的运动，尤其是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念。

事实上，空间观念的培养在图形的认识以及图形的证明过程中，都会有所体现，因为对几何图形的认识、证明中对图形特点的观察等，也需要想象，也有根据他人的描述画出图形的过程，因此，很好的认识空间观念的含义与意义，在图形与几何内容学习中抓住典型内容，利用一切可以利用的学习材料，就可以将空间观念的培养贯穿在这个学习过程中。

2. 促进空间观念发展的教学策略

（1）现实情境和学生经验是发展空间观念的基础

空间观念的形成基于对事物的观察与想象，而现实世界中的物体及其关系是学生们观察的最好材料，学生的已有经验也是观察、想象、分析的基础，因此教学中，结合学生们熟悉的现实问题情境，是发展学生空间观念的有效策略。

例如，绘制学生自己房间或学校的平面图；描述从家到学校的路线图；描述观察到的情境的画面；描述游乐园中各种运动的现象等等，这些问题既是他们生活中熟悉的，又是在数学学习中需要重新审视和加工的。平时看到的东西，要进行回忆，在头脑中想象、加工之后的再现，已经是数学的抽象了，这其中即渗透了空间观念发展的元素了。

无论是教材的开发者还是教师的教学设计，开发和利用现实世界中丰富的资源，城市的建筑与立交桥，乡村的院落与山水，我们生活的广阔空间和其中的大量实物，为我们提供了一个鲜活的大课堂，供我们观察、想象与描述。

（2）利用多种途径发展学生的空间观念

从《标准》对空间观念的描述和有关的课程内容的分析中，我们能够感觉到，发展学生的空间观念应该是有多种途径的。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。

教学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来发展空间观念。

例如，我们可以在小学高年级安排这样的折纸活动：将一张正方形的纸对折后，再对折一次，然后用剪刀剪出一个小洞。再把纸完全展开。请画出或从下面四个图中选择它的展开图。

　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D

（3）在学生的思考、想象过程中发展空间观念

空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验的积累、想象力的丰富，因此教学中要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。

这其中还有观察与想象的相互关系问题。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高一层次的空间观念的表现。

　　　　

如果在教学中，我们提出这样的问题：如图（1）所示，桌子上摆着三件物品，图（2）是从上面看到的物品的图片，其中的a、b、c、d和e五点表示从四周观察三件物品的不同地点。请判断下边的一组图分别是从a、b、c、d和e五点中的哪一点看到的。

　　　　

　　　　

对于学生来讲，可能直接的观察与想象是有些困难的，有的教师会模拟地创设这样一个情景，让学生直接去观察具体物体的摆放场景，然后进行判断。这样做确实能够降低纯粹靠想象做出判断的难度，但同时也失去了学生想象的机会。因此，教师不妨让学生先想一想，尝试着做出判断，然后再实际的看一看，在实际看到的和想像的之间进行比较，这样将由助于学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生空间观念。