一、几何直观

顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯坦（Einstein）曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”（爱因斯坦文集，第一卷，许良英、范岱年译，商务印书馆，1976，284）

“数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、主要研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注如何研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在数学—几何—图形这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。

从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相联。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面加深了对图形性质的本质认识，另一方面对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。

几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

有些数学研究的对象是可以“看到的”，可以“触摸的”，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无根之木、无源之水，它的“根和源”一定是具体的。例如，我们看不到“七维空间”，但是，我们知道“颜色可以由七个基色组成：红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”，由不同成分的七个基色组成一种颜色，这样，“由七基色组成颜色”就是理解“七维空间”的“可以看到的源”，“红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”七个数就可以决定一个颜色。当然，在颜色中，不能取负值，颜色空间不是七维空间，它仅仅是帮助我们联想的“实物”和基础。在数学中，需要依托“一、二、三维空间”去想象和思考“高维空间”的问题，这就是几何直观或几何直观能力。

几何直观在研究、学习数学中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望数学教师重视它，在日常教学中帮助学生不断提升这种能力。

《标准》中的几何直观

在高中数学课程标准（试验稿）中，也关注了几何直观：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。”在义务教育数学课程标准中，把几何直观作为数学课程标准10个核心概念之一，这是一个进步。《标准》明确指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。关于几何课程的教育价值，最主要的应该有两个方面：一方面，几何能培养学生的逻辑推理能力；另一个方面，它也能培养学生几何直观能力。但目前，在部分教师中对此在认识上存在着一定的局限性，在几何教学中他们仅仅重视培养逻辑推理能力，忽视了对学生几何直观能力的培养。我们应全面地理解几何教育价值，重视几何直观。

在教学和指导学生学习时，认识和理解“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”这一点是非常重要的。它表明，我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。

正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果。总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单，对于数学研究是这样，对于学习数学也是如此。学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。这种几何直观能力能使我们更好地感知数学、领悟数学：数学逻辑和数学直观对数学都是重要的，他们也是相互交织、关联的，直观中有逻辑，逻辑中有直观。

在义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征（如小学的分数概念、路程问题等），学会从两个方面认识数学的这些对象是非常重要的，即数形结合是认识数学的基本角度，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学上就没有学明白。

几何直观的培养

1.在教学中使学生逐步养成画图习惯

在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。

2.重视变换——让图形动起来

几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形，例如，球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等，都是“不同程度对称图形”；另一方面，在认识、学习、研究“不对称图形”时，又往往是运用这些“对称图形”为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。

3.学会从“数”与“形”两个角度认识数学

在前面的论述中，多次反复强调了这一点，数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

4.掌握、运用一些基本图形解决问题

把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了上面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。

二、模型思想

模型思想是此次修订标准新增的核心概念。尽管原标准在课程实施部分的“教学建议”中曾提到了“建立模型”一词，但数学模型、建模等概念并未出现在义务教育阶段课程目标及内容标准的文字表述之中。这次随着“模型思想”的列入，我们会看到关于数学模型的相关提法会在《标准》的多个部分出现。特别的，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容紧密关联。作为第一线教师应对《标准》中模型思想的含义及要求准确理解，并把这要求落实于课堂教学之中。

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。

这种结构有两个主要特点：其一，它是经过抽象舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。对数学模型可以从两个层次上去理解：广义的理解是把那些凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型；狭义的理解是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学模型。在中小学阶段数学中的数学模型一般指后者。

上述步骤中最重要的是抽象成数学模型这一步骤。这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。

《标准》中模型思想的含义及要求

1．模型思想是一种数学的基本思想

在原课标中，“模型”一词出现在第三学段的教学建议之中，其提法是“教学应结合具体的数学内容采用‘问题情境——建立模型——解释、应用与拓展’的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好理解数学知识的意义……”。显然，在这里数学建模及其过程更多地被看成是一种教学活动过程和模式，强调的是其教学上的意义。修订后的《标准》将数学基本思想作为“四基”之一提出，必然引出这样的问题：数学基本思想主要指哪些思想呢？现在模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，这实际上已经明示它是数学基本思想之一。史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，《数学思想概论》第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。

作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟，以形成正确的数学态度。正因为如此，《标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。

数学与外部世界的联系，是数学发展到今天在其自身的舞台上最精彩的表演。从第四章第一节的分析可知，今日之数学已突破了传统的应用范围而向人类几乎所有的知识领域渗透，而各门科学向着“数学化”发展，也成为当今科技发展的一个重要趋势。这里的“渗透”、“数学化”说到底就是数学模型的运用，作为基础教育的数学不能不关注数学发展的这一特点。

从当前各国数学课程改革来看，通过数学建模来建立数学与外部世界的联系也成为共同关注点。如美国课程标准将“数学联系”作为重要目标，“认识到并能应用数学于数学以外的情境中”是数学联系的主要内涵。该标准还强调，各种水平的数学学习，应包括有机会解决在数学以外的情境中产生的问题，既可与其他学科建立联系，又可与学生的日常生活相联系。

在加强数学与外界联系方面，《标准》在总目标中也明确提出：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”。标准修改后的这个新提法与模型思想这一要求是一致的和相互呼应的。

2．关于建立和求解模型的过程要求

前面我们已介绍了数学建模的一般步骤。《标准》以义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到培养。

3．模型思想体现在《标准》的许多方面

正因为模型思想从本质意义上体现着数学的基本思想，所以它渗透于《标准》的许多方面。比如，《标准》中有如下提法：“经历数与代数的抽象、运算与建模过程”（数与代数总目标）；“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想”，“体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”（三学段目标）；“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”（“综合与实践”内容标准）等等，除此之外，在教学实施、教材编写、评价、案例等部分都有关于模型思想的具体要求，在课程实施中要注意这一特点。

模型思想的培养

1.模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟

模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程，在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂，相对具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想。比如在一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程，使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，提出一些力所能及的数学问题；在二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价等关系式；在三学段，主要是结合相关概念学习，引导学生运用函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。

总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于概念、命题、公式、法则的教学之中，并与数感、符号感、空间观念等的培养紧密结合。模型思想的建立是一个循序渐进的过程。

2.使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。

上述活动过程完全可以结合相关课程内容有机进行。比如，关于方程的教学，过去我们是从概念到概念，强调的是方程定义、类型、解法、同解性讨论等等比较“纯粹”的知识、技能，而现在，我们可以让学生从丰富多样的现实具体问题中，抽象出“方程”这个模型，从而求解具体问题。其过程如下：

3.通过数学建模改善学习方式

数学建模不同于单纯的数学解题，它是一个综合性的过程。这一过程所具有的问题性、活动性、过程性、搜索性等特点给学生数学学习方式的改善带来了很大的空间。如下一些学习方式都可以在数学建模中尝试：（1）小课题学习方式。让学生自主确定数学建模课题，设定课题研究计划，完成以后最后提交课题研究报告。基于数学建模的小课题研究针对不同的年龄段应该有不同的层次和不同的水平，但不管何种层次和水平，关键是要引导学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察，提出研究课题。（2）协作式学习方式。在数学建模中可以小组为单位在组内进行合理分工，协同作战，培养学生的合作交流能力。（3）开放式学习方式。这里的开放是多种意义的，如打破课内课外界限，走入社会，进行数学调查；充分利用网络资源，收集建模有用信息；鼓励对统一问题的不同建模方式等等。（4）信息技术环境中的学习方式。充分利用计算机的计算功能、图形实现功能、特有软件包的应用功能等，寻求建模途径，提高数学建模的有效性