本节我们主要以行为主义和、认知主义和建构主义三个主要心理学派为例，来谈谈它们各自所形成的数学学习理论以及对数学教育的影响。

一、行为主义的学习理论及其影响

对数学教育具有影响的行为主义学习理论主要是桑代克的“联结说”。桑代克做了许多动物学习的实验，提出了联结主义的试误说。他认为学习是刺激和反应的联结。他这里所讲的“联结”是指学习者对情境所引起的反应，而这种反应又是学习者在情境中经过不断地舍弃错误和改正错误的结果。因此，在桑代克看来，就像学打字一样，算术无非是一组针对某种数量和关系的特殊化的行为习惯。他甚至认为，从某种意义上说算术活动是一种游戏，游戏的进行是受头脑中想获得正确答案的一般想法所驱动的。在桑代克的这种观点的倡导下，用训练和练习的方式去学习数学可以说是20世纪30年代数学教育观念的主流。教学中关注的是如何形成必要的联结，对小学的儿童来说教会他们形成习惯被认为是最重要的，而如何从例子和以前学过的规则当中推出新的算术规则的能力却在教学中没有得到培养。

桑代克在总结他早期实验的基础上提出了三条学习定律：准备律、练习律和效果律。后来，桑代克对准备律和练习律作了修改，把它们看成是效果律的从属性原则。他的效果律的基本涵义是：决定学习的最重要因素是机体的行为后果，凡是导致满意后果的行为会被加强，而带来烦恼行为则会被削弱或淘汰。这些学习定律导致在数学教学中把算术内容一小块一小块地分裂成许多组成部分，以便于独立的教授和考查。其中重要的联结被精心设计，经常加以训练，而不太重要的联结则较少训练。由于害怕会建立不正确的联结，对于密切关联的概念之间在一起进行对比教学被认为是不合适的。教师的作用在于鉴别各种联结，然后精心组织，其指导原则是保证较小联结的学习，这样有助于学生在以后的学习序列中学习更困难的联结。一些基于计算机辅助教学的软件包也反映出桑代克的学习原则。学习材料以较小的单元呈现，通过所设计的活动把强化的效率最大化。不过，尽管桑代克在其学习理论中特别强调训练和练习，他还是十分强调提供的算术问题对孩子来说应该具有趣味性和吸引力，并且与孩子们的日常生活经验相联系。

因为桑代克的学习理论多数是出自对动物的实验，不少是将对动物实验推及人类，因而他的理论存在着机械主义的倾向，忽视了人学习的社会性、主观能动作用和学习过程中理解的作用。尽管如此，桑代克的理论对数学教育产生的影响也是很大的，其倡导的学习理论对当今的数学学习仍有一定的指导价值。特别在培养学生的学习情绪，引起学生的学习动机，引导学生在尝试的过程中应用推理和批判的方法，在概念、原理、法则学习之后予以必要的重复练习并在以后的学习中加以应用，重视学习者对学习的心理准备等方面，值得我们借鉴。而桑代克的理论中所缺乏的关于数学思维与学习的结构或性质的论述，都留给了以后的数学教育工作者，成为继20世纪30年代以后数学教育研究的主要问题。

二、认知主义的学习理论及其影响

（一）皮亚杰的发生认识论

著名的瑞士心理学家皮亚杰是当代认知学派的主要代表人物，他一生最大的贡献就是创立了发生认识论的理论体系，研究了人类，特别是儿童认识（认知、智力、心理）的发展，提出了认知发展阶段论。在皮亚杰看来，要真正了解智慧，必须追溯到动作。数学思维，其实质上是一种动作。运算是他思维逻辑分析体系中的核心概念，是划分儿童认知发展阶段的主要标志。据此，把儿童认知发展分为四个主要阶段，每一个阶段代表着一种完全不同的理解世界的方式。

1）感知运动阶段（出生-2岁）。

主要是动作、活动并有协调感觉、知觉和动作的活动，属于智慧萌芽时期。

2）前运算阶段（2-7岁）。

出现了语言、符号，具有表象思维的能力，但缺乏可逆性。

3）具体运算阶段（7-11岁，12岁）。

出现了逻辑思维和零散的可逆性，但一般还只能对具体事物或形象进行运算。

4）形式运算阶段（11，12-14，15岁）。

能在头脑中把形式和内容分开，使思维超出所感知的具体事物或形象，进行抽象的逻辑思维和命题运算。

以上四个阶段有其连续性和阶段性，每个阶段都有其独特的结构。也就是说，某个发展阶段的结构一旦确定，就有区别于其他阶段的质的特点。根据儿童的年龄特征，由于个人或社会的各种因素，阶段可以提前或延迟，但其先后顺序不变。低级阶段在向高级阶段逐步过渡时，低级阶段的认知特点成为高级阶段的组成部分。

皮亚杰认为思维的某一种结构是人类所固有的，并且通过个体与社会和物质环境的相互作用而不断发展。皮亚杰关于结构的概念或多或少与数学上关于结构的定义是相一致的。在皮亚杰的定义中，结构是一组状态（数学家称之为状态空间），一套变换（运算）和一套控制运算如何应用的总的规则。由于皮亚杰以逻辑的或者说以数学的方式定义了结构这一概念，因此他选择用于深入研究的课题涉及的也主要是基本的逻辑结构，包括数、几何、时间、空间、速度和运动等方面的问题，

皮亚杰的理论是一个发生认识论，关注的是儿童知识的发展。其基本的假设是：“知识的逻辑组织的过程与相应的心理形成的过程是平行的。”不过这一观点在皮亚杰理论的早期应用中并没有得到体现。关注的焦点集中在发展阶段和促进阶段之间过渡的环境组织方式上。不少早期关于儿童的研究项目用皮亚杰的任务，如守恒任务来训练儿童，把促进儿童阶段上的发展作为教育目标。由于皮亚杰的任务和学校数学的任务之间存在差异，也由于从一个阶段过渡到另一个阶段的年龄是其理论中最重要的成分，因此研究中关注更多的是方法。皮亚杰理论并没有提供一个介于皮亚杰任务和学校数学任务之间的桥梁，即使他的阶段可以被看作是提供了建构这一桥梁的手段。也就是说，儿童在学校数学上的行为不太可能通过清楚地训练皮亚杰的这些任务而得到提高。

70年代以后，皮亚杰对数学教育，尤其是对于儿童在学习数学中使用的方法给予了极大的关注。他提出，形式运算结构发展的基本过程是与数学的思维能力过程相一致的，它们都是逻辑数学结构。而数学思维能力的结构是通过儿童在逻辑数学的经验中从事反思性的抽象活动而获得发展的。即儿童从反思的活动中学习。这一观点类似于现代心理学术语“反省认知”，即对自己思维的思维。我们将在随后的论述中再次谈到“反思”的概念，在那里我们讨论的是最近在皮亚杰的思想上发展出的一个新的分支——建构主义理论。

（二）布鲁纳的认知一发现学习理论

布鲁纳是二战以后对学习和思维的认知过程感兴趣的为数不多的心理学家之一。在他的研究中尤其关注儿童是如何在头脑中表征所学的概念和观念的。他认为，学习就是类目及其编码系统的形成。一个类目意指一组有关的对象或事件，它可以是一个概念，也可以是一条规则。部分地基于皮亚杰的观点。布鲁纳提出，儿童在学习过程中经历了三个表征系统的阶段：动作性表征、映像性表征和符号性表征。在动作性表征阶段，儿童直接作用于事物，通过做和通过看别人做而学习。在映像性表征阶段，儿童开始形成图像或表象，去表现他们的世界中所发生的事物。在最后一个阶段，儿童能够通过符号再现他们的世界。这三个表征系统的阶段也被认为是儿童认知发展的三个水平，也就是说，后一个表征水平是建立在前一个表征水平之上的。根据布鲁纳的这一认知生长和表征理论，许多新数运动的倡导者按照儿童表征系统的不同阶段来组织儿童的学习，主张在引入新的概念和技能时，应当向学生提供具体的可操作的材料，以便儿童“发现”自己的组织（编码系统），最后才能提供以符号化的表征形式呈现的材料。同时，布鲁纳的学习理论还强调理解的作用，强调认知结构与教材基本结构的结合，强调学习者的主动性、独立性，强调内部动机对学习的影响。另外，布鲁纳在学习上主张“发现学习”。他认为，学习者在一定情境中，对学习材料的亲身经验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西，并且主张将先进的概念以简单的方式介绍给儿童。

布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验，从中总结出了四个数学学习原理：①建构原理；②符号原理；③比较和变式原理；④关联原理。所谓建构原理，指的是学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。所谓符号原理是说，如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么就能在认识上形成早期的结构。比较和变式原理则表明，从概念的具体形式到抽象形式的过渡，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念。而关联原理，就是指应把各种概念、原理联系起来，在统一的系统中学习。

虽然布鲁纳关于儿童发现新数学观念的理论思想并没有被广泛地接受，因为许多人认为这是一个无效的方法，而且在其思想影响下的“新数运动”最终也以失败而告终。然而，这一时期的课本许多都采纳了有指导的发现学习的方法，课本中处处散布着类似 “你认为？”或“你假定成立吗？”这样的提问，至今对全世界的数学教育产生着积极的影响。

（三）建构主义的学习理论及其影响

建构主义学习观是一种新的学习理论，它是在吸取了多种学习理论，尤其是维果茨基思想的基础上发展和形成的，是学习理论中行为主义发展到认知主义以后的进一步发展。建构主义认为，世界是客观存在，但是对世界的理解和赋予意义却是每个人自己决定的。我们是以自己的经验为基础来建构现实。由于个体的经验以及对经验的信念不同，于是对外部世界的理解也各异，所以建构主义者更关注如何以原有的经验、心理结构和信念为主来建构知识，强调学习的主动性、社会性和情境性。

建构主义学习观对学生学习概括出如下观点。

（1）课本知识是一种关于各种现象的较为可靠的假设，而不是问题唯一正确的答案。学生对这些知识的学习是在理解的基础上对这些假设做出自己的检验和调整的过程。

（2）在学生建构自己知识的过程中，现有知识经验和信念起重要作用。

（3）强调教学中多向社会性和相互作用对学生学习建构的重要作用，主张教师—学生、学生—学生之间进行丰富的、多向的交流、讨论或合作性解决问题，提倡合作学习和交互式教学。

（4）学习可分为初级学习和高级学习的不同层次。

（5）学生对现有知识的学习需要走向“思维中的具体”。

（6）重视活动性学习在学生学习中的重要作用。

建构主义学说对数学学习有何指导意义呢？可以从三方面来看：

（1）建构主义强调知识是一个建构的过程，必须突出学习者的主体作用。建构主义尤其强调儿童积极参与学习的重要性。认为，儿童应该“通过与现实世界、材料以及与其他儿童的相互作用中建构、修正和整合自己的观点。”一切数学知识技能和思想的获得，都必须突出学习者的主体感知、消化、改造，使之适合自己的数学认知结构，才能被理解与掌握。对学习者来说，应该充分利用教师指导的有利条件，但又不能以此为唯一的依靠。发挥自己的主观能动性，按照自己的实际，用“跳一跳”的方式去学习，才能取得最佳的效果。

（2）建构主义十分强调外部环境的制约和影响。根据建构主义的观点，知识不能被传递，也不能被打包，而是必须由每个儿童基于他自己的经验之上独立地去建构。儿童是在从事数学活动中发展数学概念。这一过程意味着儿童要试图理解数学活动的意义，对他们所听到的或看到的数学现象加以解释。因此，提供给儿童的数学活动应有助于儿童产生真正的数学问题，促进他们反思和重组他们已有的思维方式。要使数学学习学有所得，真正形成优良的认知结构，那就必须有一个反思、交流、批判、检验、改进、发展的过程。因为数学学习在一定程度上总要重复历史的主要进程，即重现人类对数学的建构过程。对学习者来说，不应满足于自己的一得之见，而应注意与教师及其他同学的交流，通过交流实现再提高。

（3）建构主义还强调学习是发展、是改变观念。按照建构主义学说的看法，知识就是某种观念，因此知识是无法传授的，传递的只是信息。学习者应对这些信息作观念的分析与综合，进行有选择地接收和加工处理。此外，认识是一个不断发展与深化的过程。因此，学习者的认知结构也就有一个不断发展、不断建构的过程。这种在发展中学习，在学习中改变观念的观点，对指导数学学习是十分有益的。