数（自然数）是刻画一个集合中事物数量信息的符号，运算（整数四则运算）是刻画多个集合中事物数量信息之间关系的符号（组合）。

四则运算的形式化含义

从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。

加法的定义：对于a,b∈N规定运算a+b表示在a的后面增加b个的序数，如果这个序数为c，那么，称c为a与b的和。求和的运算叫做加法，记作：a+b=c。显然，加法运算满足封闭性、交换律、结合律。

乘法的定义：乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。一般地，对于a,b∈N，规定乘法运算a*b表示a个b相加。显然，乘法运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律。

减法的定义：减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。由于减法将出现负整数，因此，运算的集合需要从自然数集合（N）扩展到整数集合（Z）。整数集合包含正整数、0、负整数。对于a,x,b∈Z，如果a+x=b，则称x为减a的差，求差的运算叫做减法，记作：b-a=x。显然，整数集对于减法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a+0=a，a+(-a)=0。

除法的定义：除法是乘法的逆运算。除法是通过乘法来定义的。由于除法将出现分数，因此，运算的集合需要从整数集合（Z）扩展到有理数集合（Q）。对于a,x,b∈Q，如果a*x=b，则称x为a与b的商，求商的运算叫做除法，记作：（b/a=x）。显然，有理数集对于除法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a*1=a，a/a=1。