对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般地，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小是可以度量的，度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。

图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。

粗略地了解人类对图形进行测量的历史，可以更好地认识与了解测量的意义和作用。在谈到几何学的产生时，埃及人的贡献总是首先被提及并详尽地给以介绍。埃及位于非洲的北部，每年尼罗河水泛滥，洪水过后留下的淤泥形成肥沃的土壤，同时也带来土地要重新测量的需求，土地测量的需要就使图形成为数学的研究对象。埃及人创造出一套有效的土地面积测量的方法以及面积计算的公式，包括三角形、长方形和梯形，还包括圆面积的近似计算公式。现存的文献表明，古埃及人并没有给出面积的定义，但是埃及人很清楚地知道，面积是对平面物体大小的度量，他们很可能就是用长乘以宽来度量长方形的面积、并且把这种度量作为最基本的面积度量元素。

《标准》中“图形的测量”的课程内容主要安排在第一、二学段；其要求主要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。

几何学起源于图形的测量。简单几何图形的测量包括长度、角度、面积与体积的度量，度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。在小学阶段，物体长度的度量与估计、长方形及正方形的周长和面积计算、长度单位及常见的面积单位的认识被安排在第一学段；角的度量、基本平面图形以及不规则平面图形的测量、简单几何体以及简单实物的测量等内容被安排在第二学段。

一、“测量”《课标》要求

（一）“测量单位、长度的测量”《课标》要求

对测量单位、长度测量等内容《课标》要求如下：

结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。

体会建立统一度量单位重要性的要求对面积、体积的单位也同样适用。度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。

在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位。

结合实例认识面积，体会并认识面积单位厘米2、分米2、米2，能进行简单的单位换算。

知道面积单位千米2、公顷。

通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），能进行单位之间的换算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的实际意义。

这是要求能使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果、量的大小或关系有较好的感悟。

能估测一些物体的长度，并进行测量。

估测或估计是《课标》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。估测是测量的一个重要组成部分。在实际生活中，对一个量的估计常常比精确计算它的大小更重要。对长度、面积、体积的含义及单位的认识，始终是伴随着测量实际活动的，这个过程也应该是不断发展学生估测的过程。

（二）“平面图形的测量”《课标》要求

平面图形的测量主要包括周长、面积及角的测量。《课标》中具体要求如下：

结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。

探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积。

《标准》降低了对平面图形面积、周长计算的要求，并提倡将计算融于具体的问题之中。与过去“掌握”这个要求不同，《课标》对这个内容提出了“探索并掌握”的要求，其目的就是重视公式的形成过程，改变过去那种只重视“结论”忽视“过程”的做法。这也就是要求转变学生的学习方式，期望通过学生的实验和操作，探索出长方形、正方形的面积公式，并会估计给定简单图形的面积，对面积的意义进一步理解，融发展学生空间观念于过程之中。

能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画3○探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单0°，45°，60°，90°角。

的实际问题。

通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。

会用方格纸估计不规则图形的面积

对三角形、平行四边形及梯形三个图形的面积学习，重点在“经历探索的过程以及在探索基础上的理解”，需要在教学中突破局限，为学生提供更广阔的探究空间；另外“解决简单的实际问题”的要求，体现了面积在实际生活中的应用更受重视，这既是学习过程的重要环节，也是学习数学的主要目的。

（三）“立体图形的测量”《课标》要求

与立体图形的测量相关的《课标》要求如下：

结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。

体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法。

《课标》对立体图形的测量要求与前面其它测量内容的要求是一脉相承的。首先要关注现实、结合情境，强调被测量的对象为简单实物和几何体，强调给予具体问题情境解决实际问题。其次对学习方式提出了“探索并掌握”的要求，学生需要在主动参与、操作探究、反馈展示、交流评价中经历学习过程。还有“探索不规则实物的体积”的要求，这既具有现实意义也体现了对空间观念及思想方法的培养。

（一）“测量单位、长度的测量”教材分析

1.长度单位、长度测量

长度是线段两端之间的距离。学生进行系统的数学学习之前，在与生活世界的碰撞中已经知道了物体是有“长、短”这个属性的，一年级也学习了比较两个物体长短的内容，因此长度的含义被视为学生的已有经验，教材在编写长度单位认识时并不定义“什么是长度”，直接进入长度单位的认识及对物体长度的测量。

长度单位的主单位是米，其余的都是派生出来的单位。但考虑到学生的认识能力及生活经验，教材对长度单位的编写均从认识厘米开始，一般分为两次来学习各个长度单位。具体的长度单位学习顺序各版本教材虽然不同，但都关注了让学生体会“测量单位统一”的必要性及意义，同时也都注意了联系生活情境，运用生活中的素材帮助学生建立1米和1厘米的表象。而对《课标》中要求的“能估测一些物体的长度，并进行测量”，教材中也都安排了相应的活动或练习。

因为对于长度的度量与面积、体积的度量不同，是在规定了度量的单位、创造了度量的工具之后运用工具和单位直接获得度量的结果，不需要通过计算等间接的过程。因此教材并没有单独编写“如何进行长度测量的内容”，基本上都是与第一次长度单位的学习整合在一起，通过测量的实际活动学习和体会如何正确进行长度的测量。

2.面积认识及单位

面积及面积单位的学习，各版本教材基本上都安排在三年级的下册，内容安排的整体结构相似，基本上都是先认识面——面积，给出“面积”的描述性概念，创设比较面积大小的情境，通过对两个图形面积大小的比较，体验用相同的标准测量面积大小的过程，进而过渡到对面积单位的学习。

体积及体积单位的学习基本集中在各版本教材五年级下册。因各版本教材在主题情境引入过程中，都注重联系生活实际，提供了具体的情境引入对“面”和“面积”大小的感受。2011版《课标》下的各教材基本上都不再给出面积的概念，而是结合生活中的实际例子给出一个描述性的定义；对于选择什么样的图形作为单位面积这一环节，各版本教材差距比较大，有的教材设计了对“圆形、三角形、正方形”等多个图形进行尝试与体验，有的则是对“圆形、大正方形、小正方形”等图形进行体验，有的直接使用了“1平方厘米的正方形”。对面积单位的认识，各版本教材的编写顺序的是相同的，都较为注重对各个面积单位实际大小的体验和感受。

3.体积、容积认识及单位

为这部分内容除了体积及体积单位外，还涉及到容积和容积单位的学习，有的教材将容积与体积的知识编写在一起，有的则分成两部分来进行编写。对体积概念的引入，有用实验引入，也有从生活经验引入等；对于“物体占有一定的空间”这一体积概念的核心部分的揭示，各教材基本上都设计了观察、实验、操作等活动，运用了大量的素材，丰富学生的体验和感受，进而建立“物体占有一定的空间”、“这个空间有大有小”的观念。

而对体积、容积单位的学习，各教材延续了对面积单位学习的经验，注重通过设计活动来帮助学生感知各体积、容积单位的实际大小，但对于三个体积单位，不同的教材侧重点不同。同时，多数教材也都安排了长度单位、面积单位及体积单位之间的比较，在比较中沟通一维、二维、三维之间的联系及对体积单位的认识。体积、容积单位的换算，有的教材将其安排在体积、容积单位学习之后，体积计算之前，有的教材则将其安排在体积计算的学习之后，利用计算来进一步验证单位之间的进率。

（二）“平面图形的测量”教材分析

1.角的度量

“角的度量”各版本教材编写结构差别较大，分别从“度量的工具”“度量的单位”“度量标准的产生”等不同内容引入单元内容；教材前后与之衔接的内容也不同，有的将这一内容与“垂线与平行线”单元编在一起，有的是作为独立单元编写；角的分类等知识有被编排在角的度量之前，有的编排在角的度量内容之后。就主题情境而言，多数教材是直接从“能测量这个角的大小吗”引入学习的，有的教材是通过比较两个角的大小引入测量的。

对1°角的认识的编排代表着教材编写者对统一度量单位的思想的不同认识。各版本教材都有“要测量一个角的大小，需要用‘角’来测量”的编排，但多数教材在此基础上，直接就给出了1°的含义，只有个别教材着重体现了“作单位的角越小，测量的结果越准确”的思路，并解释了一个圆周等分360份后得到的1份的大小这个过程，并且设计了活动帮助学生建立1°的表象。

利用量角器量角是一项技能，有一定的操作步骤与方法。各教材在编排时都留出了给学生探索量角器使用方法的空间，让学生在探索辨析中理解量角器的构造以及量角的原理，让学生在学会技能的同时能理解方法。用量角器画角的技能，有的教材将其编排在了用量角器量角之后；有的则与量角分开作为一个专门的技能进行编写。无论是将量角和画角编排在一起还是分开编排，都有各自的优势，连续编写体现了内容的连续性，而分开编写则降低了学生学习的难度。

度量是将事物的属性量化，赋予事物一个数值，从而可以在同一维度上比较事物。换句话说，度量是指某个物体具有多少个单位的某种属性。度量单位是度量的核心，在操作中感知度量单位产生的重要性和规定的合理性，这是一个对被度量的量的意义的理解的过程。教材编写由于篇幅限制等原因，普遍对角的度量方法编写得比较充分，对角的度量的思想编写的不够充分。理解角的度量的思想包括什么是合适的度量单位、如何规定单位、度量单位的实际大小、度量中的误差等。

2.周长的测量

周长是对长度学习的延续。在小学阶段，要求掌握周长计算方法的图形有长方形、正方形及圆。

对“周长”的认识，各版本教材都通过一些生活中的实例及图形，通过让学生描一描、摸一摸等活动，让学生理解这些图形一周的长度就是它的周长。但对于“周长”的概念，各版本教材虽均进行了定义，但有所不同。

长方形、正方形周长的计算，各教材的引入情境不同，但对于具体计算方法，基本上都是按照“逐边累加”和“根据特征来计算”这样的顺序来呈现的。而且对于“图形的周长可以用所有边长之和累加得出”这个与周长含义对应的“通法”，一些教材在练习中也编排了其它几何图形及不规则图形周长计算的问题，以帮助学生进一步深化和理解。

“圆的周长”各版本教材主要环节设计上比较相似，基本上都包含“认识圆的周长”“用滚动法和绕线法测量圆的周长”“探索圆的周长与直径的关系”“介绍圆周率”“介绍周长公式”“解决实际问题”这些学习内容，都经历了“创设情境、提出问题→实践探究、发现规律→总结规律、解决问题→应用巩固、练习提高”的过程，并具体化为一些明白易懂的学习栏目以提示教学线索、推进对话互动进程。

对于引入“圆的周长”探索的情境，多数教材都用轮子来引入，非常直观，也容易直接切入问题的本质探究——周长与直径的关系。个别教材情境呈现的是立体实物图片，与抽象的、平面的“圆”之间有差距，不容易帮助学生建立圆周长的概念。

探索周长与直径之间关系的内容各教材主要编排了操作归纳的方法，即通过度量各种大小不同的圆的周长和直径等实践活动，在观察比较、猜想尝试、举例验证等基础上归纳出两者之间大概是3倍左右的函数关系。对于获得圆的周长的方法，各版本教材一致采用了实验方法，都介绍了通过绕线法和滚动法测量圆的周长。各版本教材也都提供了表格供学生记录测量所得的周长与直径，但记录测量结果的表格各版本教材略有不同，多数版本教材都给出了实验的结果，均为“圆的周长总是它的直径的3倍多一些”。各版本教材在探索活动后都给出了圆周率的定义，在此基础上，都给出了圆周长的两个计算公式。

各版本教材都介绍了与圆周率研究进展有关的史料知识，但所占篇幅大小不一。无论篇幅大小，史料知识都介绍了祖冲之的贡献，而占篇幅比较大的史料内容则涵盖了周髀算经中“周三径一”的记载，阿基米德、刘徽、祖冲之在圆周率发展过程中的贡献，及现代计算机在研究圆周率中的成就。

3.面积的测量

小学的平面图形涉及到面积计算的有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆。

长、正方形的面积计算与面积及面积单位的学习是编排在一起的。教材一般采取两种引入的方式，或者从情境引入求长方形的大小即面积，提示学生“用单位面积摆、铺”来进行探索，或者创设“用若干个单位面积来摆长方形”的活动，摆出长方形之后发现所使用的单位面积数量与长、宽的关系，进而推导长方形面积的计算公式。

平行四边形的面积在小学生面积学习的过程中处在一个比较特殊的位置，这是由“直接数面积”向“间接求面积”过渡的图形。多数教材创设情境引出平行四边形面积的问题，部分教材通过对情境中长方形、平行四边形面积的比较来引入新课。各版本教材都设计了探究的活动，但留给学生的探究空间各不相同。有的教材提出类似“长方形用长乘宽来求面积，平行四边形是不是用‘相邻两个边相乘’来计算面积”这样的问题引导学生进行思考，有的则直接提出“你能将这个平行四边形转化成长方形吗”，以此作为面积推导的引入。

部分教材在这里使用了格子图，但编排的位置和使用的目的不同。格子图的使用是教材重视直接测量的体现，目的是让学生在数一数的过程中，进一步理解测量的本质、体会面积的含义等；另外还可以通过直接测量来促进对间接测量方法的理解，及对面积体积计算公式的理解。有的教材通过格子图数出平行四边形的面积；有的是通过格子图把长方形和平行四边形进行对比，帮助学生辨析“平行四边形是否可用两个相邻的边相乘求面积”，或帮助学生发现两个图形之间元素的对应关系；还有的教材是直接在方格纸上把平行四边形割补成长方形，以证明面积不变。对于平行四边形面积公示的推导，教材都呈现了转化的方法和过程。不同的是有的教材呈现了一种转化的方法（直角三角形＋直角梯形），有的呈现了两种转化的方法（直角三角形＋直角梯形，直角梯形＋直角梯形）。不管是教材如何编排，转化思想都是教材凸显的思想方法，都具体展现了未知的知识变成已知知识的转化活动。

三角形与梯形的面积，各版本教材都以转化为线索，多数教材采用的是两个完全相同的三角形或梯形拼摆成平行四边形的转化方法，部分教材对三角形面积推导的引入是在格子图中将不同的平行四边形沿对角线分开后，通过对比平行四边形与三角形面积来探索二者之间的关系，而对三角形和梯形，部分教材在编写了“拼摆”的方法之外，还设计了对三角形、梯形进行“割、补”的方法来推导面积计算公示。

圆的度量，无论是周长还是面积，在学生对平面图形的认识与探索过程中，都标志着“由直到曲”的跨越，更是数学思想从“有限”进入到“无限”的跨越。目前，各版本教材圆的面积公式推导都采用“印度圆”的方法。除了对“等分后插、拼”这个圆的面积推导过程的详细编写外，有的教材在此之前还安排了一些与多边形面积学习相关的内容作为两次学习的衔接，如将圆放到方格图中，看是否能通过数格子的方法得到圆的面积，进一步帮助学生感受直线图形与曲线图形的区别。另外，还有一个版本教材提及了用圆内接正多边形的方法计算面积的过程，随着圆内接正多边形的边数增多，越接近圆的面积.

“立体图形的测量”教材分析

1.表面积的测量

长方体是最基本、最常见的立体图形，理解表面积的意义是学生探索、发现、掌握表面积计算方法的关键，其表面积的学习也是学生进行三维、二维之间转换的良好时机。长、正方体表面积一般都安排在五年级下册，在认识了长方体、正方体的基本特征之后来进行学习。教材一般都以“做一个长方体纸盒、包装箱需要多少纸板”这样的问题引入，在解决具体问题过程中，引导学生思考相对的面的面积计算方法，合起来得出长方体表面积的数值，这个过程多数教材用长方体的展开图辅助学生实现三维向二维的转化，个别教材没有提供长方体展开图，只用语言提示学生的思维过程。各版本教材都不再给出长方体表面积的计算公式，无论是文字表达还是字母表示，这符合《课标》中对图形测量学习的整体要求，但部分教材结合问题中的数据给出了相应的求长方体表面积的综合算式。所有的教材都给出了表面积的定义“长方体或正方体6各面的总面积，叫做它的表面积”。正方体表面积的计算，教材多是通过直接提问“正方体的表面积应该怎样计算”或者实际问题引入，请学生从长方体表面积计算上迁移，思考正方体表面积如何计算。

圆柱的表面积建立在学生对圆柱特征的认识基础上，难点是圆柱侧面展开图的计算，这也成为多数教材的切入点。教材都是借助了生活中的实物创设问题，如罐头的侧面商标纸的面积、做一个圆柱形纸筒需要的纸板面积等，来引导学生想象、探索圆柱的侧面展开图如何来计算，进而再研究表面积的计算方法。教材都提示了表面积计算的难点——侧面与展开图长方形长、宽的关系，所有的教材都提供了帮助学生想象、探索和思考的侧面展开图，有的还提供了整个圆柱体的展开图，以此帮助学生推论出侧面积计算的方法。对于侧面积计算的方法，除了一个版本教材给出了“圆柱侧面积=底面周长×高”及字母表达式外，其余各版本教材都没有对侧面积或表面积计算方法进行文字等式或字母表达式的编写。

2.体积的测量

长、正方体体积的内容无论但无论是怎样引入教学内容，各版本教材都设计了操作活动，或者让学生向被求体积的长方体中摆小正方体，或者要求学生用一些数量的小正方体摆不同形状的长方体，继而观察摆的小正方体的个数与长方体长、宽、高的关系。这既是在解决体积计算的具体方法，也是在提示解决问题的思想方法。在动手操作的基础上，多数版本教材都直接给出了长方体体积计算的公式及字母表达式，个别版本教材是让学生自己总结体积计算公式。正方体的体积各版本教材的编写比较相似，都是迁移长方体体积计算公式、结合正方体的特征来总结，多数教材都给出了文字和字母表示的公式。另外，对于长方体、正方体体积公式可以归纳为“底面积×高”，各版本教材均在正方体体积之后进行了专门的编写。

圆柱圆锥的认识及测量都编排在六年级下册。因为长方体、圆柱的体积都是以三维直角坐标系为基础的，一般都是先计算出底面积的大小，然后与第三维的高进行乘法运算，从而得到物体在三维空间中所占有的大小，因此有的教材先出示等底等高的长方体、正方体、圆柱后提出问题，长方体、正方体的体积都可以用“底面积×高”来计算，圆柱的体积怎样计算？引导学生进行知识的迁移；还有的教材由现实的问题引入，在对圆柱体实物的比较中感受圆柱体积与底面大小及高的长短有关；也有教材直接提出“圆柱体积怎样计算”就后进入体积转化的环节。圆柱体积计算方法各教材都抓住知识间的联系，紧扣“转化”思想方法来进行编写，并提出了类似“拼成的长方体与原来的圆柱有什么关系？”这样的问题，引导学生体会转化过程中的变与不变。

圆锥体积，教材都是“猜想——实验——结论——应用”这样的编写结构，都从圆柱与圆锥体积的之间关系入手来引导探究圆锥体积的计算方法，而且都格外提示了“等底等高”这一比较的前提。在实验操作环节，各教材都呈现了等底等高的圆柱圆锥容器各一个，及用沙子或水来进行具体实验的过程，对实验结论即圆锥体积计算方法的编写，有的教材是用文字描述的方式呈现，有的是直接给出公式，有的则是二者相辅助，并留给了学生思考总结公式的空间。

另外，有部分教材在此处编写了与体积相关的史料知识，涉及到《九章算术》中对长方体、圆柱体积的发现，阿基米德的“圆柱容球”定理，及阿基米德巧妙辨别纯金皇冠真伪的故事。