§3  绝对误差和相对误差

3.1  绝对误差和绝对误差限

设某一个变量的准确值（称为真值）为，其近似值为，则与的差

                       （1.3.1）

称为近似值的绝对误差，简称误差。当 时，称为亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强近似值。

由于真值往往是未知或无法知道的，因此的准确值（真值）也就无法求出。但一般可估计出此绝对误差的上限，也即可以求出一个正数，使

                     （1.3.2）

此称为近似值的绝对误差限，简称误差限，或称精度。有时也用

                         （1.3.3）

来表示式（1.3.2）。这时等式右端的两个数值和代表了所在范围的上、下限。越小，表示该近似值的精度越高。

例如，用有毫米刻度的尺测量不超过1m的长度。读数方法如下：如果长度接近毫米刻度，就读出那个刻度数作为长度的近似值。显然，这个近似值的绝对误差限就是0.5mm，则有

如果读出的长度是513，则有

这样，我们虽仍不知准确长度是多少，但由式(1.3.3)可得到不等式

这说明必在[512.5mm,513.5mm]区间内。

再例如，真空中光速的近似值为

又其绝对误差限为

则通常把写成

它表示了光速的准确值所在的范围。

3.2   相对误差和相对误差限

用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。例如，测量10m的长度时产生的1cm的误差时与测量1m的长度时产生的1cm的误差差别是大有区别的。虽然两者的绝对误差相同，都是1cm，但是由于所测量的长度要差10倍，虽然前一种测量比后一种要精确得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小，这就需要引进相对误差的概念。

绝对误差与真值之比，即

                         （1.3.4）

称为近似值的相对误差。

在上例中，前一种测量的相对误差为，而后一种测量的相对误差则为，是前一种的10倍。

由式（1.3.4）可见，相对误差可以从绝对误差求出。反之绝对误差也可由相对误差求出：

                            （1.3.5）

相对误差不仅能表示出绝对误差来，而且在估计近似值运算结果的误差时，它比绝对误差更能反映出误差的特性。因此，在误差分析中，相对误差比绝对误差更为重要。

相对误差也无法准确求出，因为式（1.3.4）中的和均无法准确求得。然而，也和绝对误差一样，可以估计它的大小范围，也即可找到一个正数，使

                             （1.3.6）

称为近似值的相对误差限。

相对误差是个无名数，它没有量纲。例如，称100kg中的东西若有1kg中的误差和量100m的东西若有1m长的误差，则这两种测量的相对误差都是1/100。与此相反，由于绝对误差是名数，有量纲，上例中两种测量的绝对误差1kg和1m的量纲不同，两者就无法进行比较。

在实际运算中，由于真值总是无法知道的，因此往往取

                             （1.3.7）

作为相对误差的另一定义

下面比较一下与之间的相差究竟有多大。

一般来说，相对于而言是一个小量，因而是一个小数，一般不会超过0.5，这样上式中的数值不会大于2，故上式可改写成

上式右端是一个高阶小量，可以忽略。由此可见，用来代替不致引起明显的误差。

相对误差也常用百分数来表示：

                          （1.3.8）

这时称它为百分误差。