4.2 牛顿——柯特斯公式

在第1节中，我们介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实际应用时，考虑到计算上的方便，常将积分区间等分之，并取分点为求积节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿——柯特斯（Newton-Cotes）公式。

本节在介绍一般牛顿－柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛顿——柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。

4.2.1 牛顿——柯特斯公式

若将积分区间等分，取分点

作为求积节点，并作变量替换，那么插值型求积公式（4.1.3）的系数由式（4.1.2）可得

记

       （4.2.1）

则

于是，由式（4.1.3）就可以写出相应的插值型求积公式

                       (4.2.2)

这就是一般的牛顿—柯特斯公式，其中称为柯特斯系数。

从柯特斯系数的算式（4.2.1）可以看出，其值与积分区间及被积函数都无关，只要给出了积分区间的等分数,就能按式（4.2.1）毫无困难地算出。例如，当时有

当时有

为了便于运用，我们将部分柯特斯系数列在表4-1中。

利用这张柯特斯系数表，由（4.2.2）可以直接写出当时的牛顿—柯特斯公式。例如，当时有两点公式

                      （4.2.3）

当时有三点公式

                 （4.2.4）

表4-1

1
2
3
4
5
6

当时有五点公式

  （4.2.5）

其中，。

求积公式（4.2.3）就是梯形公式。

求积公式（4.2.4）称为辛普生（Simposn）公式。其几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积（见图4-2）。因此，求积公式（4.2.4）又名抛物线公式。

求积公式（4.2.5）称为柯特斯公式。

梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。下述定理给出了这些求积公式的余项：

图 4-2

定理2  若在上连续，则梯形公式（4.2.3）的余项为

   　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　    （4.2.6）

若在上连续，则辛普生公式（4.2.4）的余项为

  　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　    （4.2.7）

若在上连续，则柯特斯公式（4.2.5）的余项为

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   （4.2.8）

其中，。

定理2的证明从省略。

4.2.2 复合牛顿——柯特斯公式

容易看出，当积分区间较大时，直接使用牛顿——柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此，在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在电子计算机上实现，往往采用复合求积的方法。

所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿—柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。

例如，先将区间等分，记分点为

其中，称为步长。然后在每个小区间上应用梯形公式（4.2.3），即

就可导出复合梯形公式

若将所得积分近似值记为，并注意到，则上式即

  　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.9）

仿上，可得复合辛普生公式

 　　　　　　　　　 　（4.2.10）

和复合柯特斯公式

　　　　　　　　　　　　（4.2.11）

在式（4.2.10）和式（4.2.11）中：

定理3   若在积分区间上分别具有二阶、四阶和六阶连续导数，则复合求积公式（4.2.9）、（4.2.10）、（4.2.11）的余项分别为

      　　　　　　　　      （4.2.12）

     　　　　　　　　    （4.2.13）

  　　　　　　　　    （4.2.14）

其中，,且当充分小时，又有

    　　　　　　　     （4.2.15）

  　　　　　　　   （4.2.16）

  　　　　　　　（4.2.17）

证明   我们只对复合梯形公式（4.2.9）证明余项公式（4.2.12）和（4.2.15），其余留给读者自己完成。

先证式（4.2.12）。由于在上连续，故由定理2知，对每个小区间上积分使用梯形公式时，所得近似值的误差为，故

   　　　 (4.2.18)

即

因为

由中值定理知，在中必有点，使

故余项公式（4.2.12）成立。

再证式（4.2.15）。由式（4.2.18）和定积分的定义，有

    　　　　　　 （4.2.19）

故当充分小时，式（4.2.15）成立。

由余项公式（4.2.12）～（4.2.17）可以看出，只要所涉及的各阶导数在积分区间上连续，则当（即）时，，和都收敛于积分真值，而且收敛速度一个比一个快。

定义2   对于复合求积公式，若当时有

则称是p阶收敛的。

定理4   复合求积公式（4.2.9）、（4.2.10）和（4.2.11）分别具有二阶、四阶和六阶收敛性。

证明   根据收敛的定义，由式（4.2.19）立即可以看出，复合梯形公式（4.2.9）具有二阶收敛性。

按同样的思路，可以证明复合辛普生公式（4.2.10）和复合柯特斯公式（4.2.11）分别具有四阶和六阶收敛性。具体证明过程也留给读者自己完成。

对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值收敛到真值的速度就越快，在相近的计算工作量下（顺便提一下，数值求积计算工作量的大小，主要看计算函数值次数的多少），有可能获得较精确的近似值。

例1　利用复合牛顿—柯特斯公式，计算

的近似值。

解  我们用两种方法进行计算。

先将积分区间八等分（分点及分点处的函数值见表4-2），用复合梯形公式得

表 4-2

0 1/8 1/4 3/8 1/2	4.00000000 3.93846154 3.76470588 3.50684932 3.2000000	5/8 3/8 7/8 1	2.87640449 2.56000000 2.26548673 2.00000000

再将积分区间四等分，用复合辛普生公式得

两种方法都用到表4-2中九个点上的函数值，它们的计算工作量基本上相同，但所得结果与积分真值 相比较，复合辛普生公式所得近似值S远比复合梯形公式所得近似值要精确。因此，在实际计算时，较多的应用复合辛普生公式。

为了便于上机计算，常将复合辛普生公式（4.2.10）改写成

相应的程序框图见图4-3。

图 4-3

4.2.3 误差的事后估计与步长的自动选择

我们虽然可以利用余项公式（4.2.12.）～（4.2.17）来估计近似值的误差，也可根据精度要求用这些公式来确定积分区间的等分数，即确定步长。但是，由于余项公式中包含有被积函数的高阶导数，在具体计算时往往会遇到困难。因此，在实际应用时，常常利用误差的事后估计法来估计近似值的误差，或者确定步长。这个方法的大致做法是，将积分区间逐次分半，每分一次就用同一复合求积公式算出相应的积分近似值，并用前后两次计算结果来判断误差的大小。其原理和具体做法如下：

对于符合梯形公式（4.2.9），由余项公式（4.2.12）或（4.2.15）可以看出，当在积分区间上变化不大或积分区间的等分数较大（即步长较小）时，若将的等分数改为（即将步长缩小到原步长的一半），则新近似值的余项约为原近似值余项的，即

其中， 表示积分 的真值。对求解得

                               (4.2.20)

此式表明，若用作为积分真值的近似值，则其误差约为。故在将区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后两次计算的结果和 来估计误差与确定步长。具体做法是：先算出和 ，若 （为计算结果的允许误差），则停止计算，并取 作为积分的近似值；否则，将区间再次分半后算出新近似值 ，并检查不等式是否成立······直到得到满足精度要求的结果为止。
对于复合辛普生公式(4.2.10)和复合柯特斯公式(4.2.11) ，当所涉及的高阶导数在积分区间上变化不大或积分区间的等分数较大时，由相应的余项公式可以看出

 和 

分别对求解得

                            (4.2.21)

                           (4.2.22)

因此，也可以像使用复合梯形法求积分近似值那样，在将积分区间逐次分半进行计算的过程中，估计新近似值 和 的误差，并判断计算过程是否需要继续进行下去。

上述过程容易在电子计算机上实现。

4.2.4 复合梯形法的递推公式

上面介绍的变步长的计算方案，虽然提供了估计误差与选取步长的简便方法，但是还没有考虑到避免在同一节点上重复计算函数值的问题，故有进一步改进的余地。

先看复合梯形公式。在利用式（4.2.9） 计算时，需要计算个点（它们是积分区间 等分的分点，不妨简称为“分点”）上的函数值。当不满足精度要求时，根据上面提供的计算方案，就应将各小区间分半，计算出新近似值。若仍旧利用式（4.2.9） 进行计算，就需要求出个点（它们是“分点”）上的函数值。而实际上，在这个分点中，包含有个分点，对应的函数值在计算时早已算出，现在重新计算这些点上的函数值，显然是极不合理的。

为了避免这种重复计算，我们来分析新近似值与原有近似值 之间的联系。由复合梯形公式（4.2.9）知

若注意到在分点

中，当取偶数时是分点，当取奇数时才是新增加的分点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有

由递推公式（4.2.23）可以看出，在已经算出的基础上在计算时，只要计算个新分点上的函数值就行了。与直接利用复合梯形公式（4.2.9）求相比较，计算工作量几乎节省了一半。

例2  利用递推公式（4.2.23）重新计算的近似值，使误差不超过。

解   我们在积分区间逐次分半的过程中顺次计算积分近似值并用是否满足不等式（为计算结果的允许误差，根据题意）来判断计算过程是否需要继续下去。

先对整个区间使用梯形公式（4.2.3），得

然后将区间二等分，出现的新分点是，由递推公式（4.2.23）得

再将各小区间二等分，出现了两个新分点与，由递推公式（4.2.23）得

这样，不断将各小区间二分下去，可利用递推公式（4.2.23）依次算出。计算结果见表4-3。因为，故为满足精度要求的近似值。

表 4-3

为了便于上机计算，我们将积分区间的等分数依次取为（如表4-3），并将递推公式（4.2.23）改写成

       (4.2.24)

相应的程序框图见图4-4.其中，为精度控制量，为最大二分次数（用来控制计算工作量）。

对于复合辛普生公式与复合柯特斯公式，我们也可以根据上述原理构造相应的递推公式。但是，下节提供的算法给出了在积分区间逐次分半过程中，近似值或更为简便的算法，故不再讨论它们。

图 4-4