5.3 迭代法

迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。

为了用迭代法求非线性方程的近似根，首先需要将此方程转化为等价的方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (5.3.1)

显然，将转化为等价方程（5.3.1）的方法是很多。

例4 方程

可用不同方法转化为等价方程：

（a） 

（b）

定义2 （迭代法）

设方程为 

（1）取方程根的一个初始近似值，且按下述逐次代入法，构造一近似解序列

                   （5.3.2）

这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）。称为迭代函数。

（2）果由迭代法产生序列有极限存在，即称收敛或称迭代过程（5.3.2）收敛。否则成不收敛。

设为连续函数，且，则有，即为方程（5.3.1）的解（称为函数的不动点）。

事实上，由迭代过程（5.3.2）两边取极限，则有

显然，在由方程转化为等价的方程时，选择不同的迭代函数，就会产生不同的序列（即使初始值选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。

例5 　对例4中的方程，考查用迭代法求根：

（a） 

（b） 

取，计算结果见表5-2.

表5-2

0 1 2 3 4 5 6 7	1.0 1.341471 1.473820 1.495301 1.497152 1.497289 1.497300 1.497300	1.0 0.523599 0.23601 －0.496555 －1.487761	－3.6×

由计算看出，我们选取的两个迭代函数和分别构造的序列的收敛情况不一样（初始值都取为1.0），在（a）种情况下收敛且。在（b）种情况下出现计算无定义。

因此，对于用迭代法求方程近似根需要研究下述问题：

(1)如何选取迭代函数使迭代过程收敛。

(2)若收敛较慢时，怎样加速收敛。

图5-3

迭代法的几何意义：

从几何上解释，求方程根的问题，是求曲线与直线交点的横坐标。当迭代函数的导数在根处满足下述几种条件时，从几何上来考查迭代过程的收敛情况如图5-3。

从曲线上一点出发，沿着平行于轴方向前进交于一点，再从点沿平行于轴方向前进交于点，显然，的横坐标就是。继续这过程就得到序列，且从几何上观察知道在（1），（2）情况下收敛于，在（3），（4）情况下不收敛于。

由迭代法的几何意义可知，为了保证迭代过程收敛，应该要求迭代函数的导数满足条件，当，否则方程在内可能有几个根或迭代法不收敛，为此有下述关于迭代法收敛性定理。

定理4  设有方程。

（1）设于一阶导数存在；

（2）当时，有；

（3）满足条件：，当。

则

（1）在有唯一解；

（2）对任意选取的初始值，迭代过程收敛，即；

（3）；                           　　　　　　　　（5.3.3）

（4）误差估计

       　　　　　　　    (5.3.4)

证明 （1）由假设条件（2）即有当时有。作函数，显然在上连续，存在且满足：

于是，由连续函数性质，则有，使，即。

下面证明惟一性，设有两个解及，且，，即有

由中值定理有

其中，在与之间，所以，上式即

又由假设条件（3）则。

（2）由定理假设条件（2），当取时，则有。记误差，由中值公式有

图 5-4

其中，在与之间，即。又利用假设条件（3）得到误差的递推关系

          (5.3.5)

反复利用式（5.3.5），得到

    　　   (当)

即   

（3）由迭代公式，显然有

       　（5.3.6）

其中，在与之间，于是

即

（4）反复利用式（5.3.6），可得

由定理4的结果（5.3.3）式可知，当计算得到的相邻两次迭代满足条件

                  （5.3.7）

时，则误差

所以在电算时可利用来控制迭代终止，但是要注意，当时，即使很小，但误差还可能较大。

当已知及给定精度要求时，利用式（5.3.4）可确定使误差达到给定精度要求所需要的迭代次数。

事实上，由

即

              （5.3.8）

定理4的假设条件，当。在一般情况下，可能对于大范围的含根区间不满足，而在根的邻近是成立的，为此有下述迭代过程局部收敛性结果。

定理5 （迭代法的局部收敛性）

设给定方程

（1）设为方程的解；

（2）设在的邻近连续可微，且有

（根据在邻近连续性，此条件即为存在一个邻域使，当时成立）。则对任意取初值，迭代过程收敛于（称迭代过程具有局部收敛性）。

证明  取，于是只要验证定理4中条件（2）成立，定理5即得证。

事实上，设，则

其中，。说明。

例6　试用迭代法解方程：。

解   （1）显然有

及

即知，方程于及内有根，记为及。

（2）考查取初值迭代过程的收敛性，其中迭代函数为。

图 5-5

显然，及为增函数，则有当时，。又由

则有。

于是，由定理4可知，当初值时迭代过程收敛。

如果要求近似根准确到小数后第6位（即要求）。

表5-3

0 1 2 14 15	0.0 0.69314718 0.99071046 1.1461931 1.1461932

由表5-3可知，，且，所以

（3）可将方程转化为等价方程

或

且有  

即有   ，

所以，当选取时迭代过程

收敛。如取，则迭代12次有

且有　　。

由上例可见，对于方程，迭代函数选取不同，相应由迭代法产生的收敛情况也不一样。因此，我们应该选择迭代函数，使构造的迭代过程收敛且收敛较快。

迭代法框图见图5-6所示。

 

图5-6

迭代法：求解方程。

（1）选取解的初始估计；

（2）对于，计算，其中为给定的最大迭代次数。当时（或，或，其中为给定精度要求）迭代终止。