1．叙述零点定理的内容。

答：设函数在闭区间上连续且，则存在使，即在区间内存在实的零点，称区间为方程的有根区间。

2．方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些？

答：第一步 确定方程的有根区间。

第二步 近似根的精确化。

确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。

3．利用作图法确定方程的有根区间。

  解：

由于于是，在区间内至少有一个根，取步长向右进行根的搜索，即计算的值得到，从而，原方程的有根区间缩小为

4．利用逐步搜索法确定方程的有根区间。

解：由于于是，方程在内至少有一个实根，所以，从，取步长向右进行根的搜索，即计算得到，从而，原方程的有根区间缩小为。

5．确定方程的有根区间。

解：由于函数的定义域为，用逐步搜索法：由于，于是，方程在内至少有一个实根，所以，从,取步长向右进行根的搜索，即计算的值得到，从而原方程的有根区间缩小为

6．二分发的基本思想是什么？

解：二分发的基本思想是将方程的有根区间逐步分半，通过判别在端点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间内使方程有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。

7．以方程的有根区间为为例，简述二分法的具体作法。

解：第一步：将有根区间分半，用区间的中点将分为两个相等区间，计算中点的函数值。若，则就是方程的根；否则，若，由于在左半区间内不变号，所以方程的有根区间变为。同理，若，则方程的有根区间变为，从而将新的有根区间记为，且区间的长度仅为区间的一半，即。

第二步：对压缩了的有根区间又可施行同样的方法，即用中点将区间再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个新的有根区间，该区间的长度是区间的一半。

如此反复可得出一系列有根区间且具有关系，其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间的长度，当时，区间的长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点，显然就是方程的根。

8．以方程的有根区间为，精度要求为，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数的计算公式。

解：若事先给定的精度要求为，则只需，即，此时就是满足给定精度要求的近似值，为二分法的次数。

9．用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数（编程）

（1）                        

解：    

（2）                    

解：    

（3）                      

解：    

（4）                        

解：    

10．若应用二分法求方程在区间上误差不超过的近似值，应二分多少次？

解：其近似根为，应分次。

11．迭代法的基本思想是什么？

解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程的一个粗糙的初始近似根，然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。

12．迭代法的具体做法如何？

解：(1)将方程改写成等价形式,在根的附近任取一个初始近似根。

(2)构造近似根序列：将代入计算得到，一般，再把作为新的近似根代入得到，重复上述步骤即可。

13.迭代法的几何意义是什么？

答：方程的求根问题在几何上就是确定曲线与直线交点的横坐标。设迭代初值为，曲线上以为横坐标的点为，为点的纵坐标，过点引平行于轴的直线，并与直线相交于，其横坐标为，然后过点引平行线于轴的直线，并与曲线的交点记作，重复上述过程可得点列他们横坐标依次由迭代公式，所确定。如果点列逐步逼近，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。  

14．叙述迭代过程收敛定理的内容。

解：假设迭代函数满足下列两个条件

（1）对任意的有；

（2）存在正数，使对任意有。

则（1）对任意初值迭代过程均收敛于方程的根，即。

(2)误差事后估计公式为。

15．正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？

解：基本思想：用过两点，的直线的斜率这个差商来代替牛堆迭代公式中的倒数。

具体做法：对方程经过次迭代后得到近似根，，从而取，于是牛顿迭代公式变为 ，此公式为正割法迭代公式。

几何意义：正割迭代法是用过两点，的直线与轴交点的横坐标来逐步逼近曲线与轴交点的横坐标，因此正割迭代法又叫割线法。

16．简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。

解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初值，在计算只用到前一步的值Xk，但要计算；而正割法在计算时需要两个初值，，在计算时要用到前两次的迭代值，，但不用计算导数。

17．使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。

答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：

艾特肯加速公式：

校正：

再校正：  

改进：

斯蒂芬森方法：

迭代：

加速：