6.4 矩阵的三角分解

现用矩阵理论来研究高斯消去法，设约化主元素。由于对施行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘，于是高斯消去法第1步：

则有

其中

    （为初等下三角阵）

第步消元过程：

则有

        　（6.4.1）

其中

利用递推公式（6.4.1），则有

         　　　　　　　　　　　 （6.4.2）

由（6.4.2）式得到

          　　　　　　　　　　（6.4.3）

其中

为由乘数构成的单位下三角阵，为上三角阵，（6.4.3）式表明，用矩阵理论来分析高斯消去法，得到一个重要结果，即在的条件下，高斯消去法实质上是将分解为两个三角矩阵的乘积。

显然，如果，由高斯消去法的（6.2.4）式及行列式性质，则有

其中

反之，可用归纳法证明，如果的顺序主子式，则。

总结上述讨论，得到下述重要定理：

定理2（矩阵的三角分解）

设。如果的顺序主子式，则可分解为一个单位下三角阵与一个上三角阵的乘积，即

且分解是惟一的。

证明  现仅就来证明惟一性。设有

    　　　　　　　　　　　　　　　　  （6.4.4）

其中，为单位下三角阵，为上三角阵。

由假设存在，于是从上式（6.4.4）可得

上式右边为上三角阵，左边为单位下三角阵，故应为单位阵，即。

称矩阵的三角分解为杜利特尔（Doolittle）分解。其中

在定理2条件下，同样可有三角分解

其中，为下三角阵，为单位上三角阵。称矩阵的这种分解为克劳特（Crout）分解。

例4　由例2可以得到的三角分解

设有方程组。如果实现了,则求解问题

即   ①,求解

    ②,求解

求解两个三角形方程组是容易的。

在定理2条件下，用高斯消去法可以实现的三角分解,下面可通过直接用元素计算矩阵的三角分解矩阵及。这种直接计算的三角分解的方法有实用上的好处。

设且各顺序主子式,于是由定理2有

       （6.4.5）

由矩阵乘法有：

，得到的第1行元素；

,得到的第1列元素。

设已经定出的第行元素, 的第列元素，现要计算的第行元素及的第列元素。

由（6.4.5）式，用矩阵乘法可得

由上述讨论，得到用直接三角分解法解的计算公式。

的分解的直接计算公式：

（1）

（2）对于计算：

 ① 计算的第行元素

 ② 计算的第列元素

（3）求解公式：

 ①

 ②

显然，当时，解直接三角分解法计算才能完成。设 为非奇异矩阵，当某时，可引用矩阵的行交换，可实现矩阵的三角分解。

用直接三角分解法解大约需要次乘除法。

在电算时，当计算好后就冲掉计算好后冲掉,最后在位置得到。

用直接分解法求解方程组

是有好处的。

（1）实现分解计算

（2）求解

对于

 ① 求解

 ② 求解

且每求解一个方程组只需次乘除法。

例5   用列主元素消去法解

解　消元中间结果冲掉元素,乘数冲掉,按列选主元，引进行交换时将乘数也交换。

其中,且作第2行与第3行的交换，。

解三角形的方程组

得到计算解

且有置换矩阵 (为初等置换阵的乘积，即,其中为单位矩阵交换第行与第行得到的矩阵）使得

其中

上述例子说明，列主元素消去解（假设为非奇异矩阵）实现了的三角分解。进一步可以证明下述结果。

定理3 (列主元素三角分解定理)

如果为非奇异矩阵，则存在置换阵使

其中，为单位下三角阵，为上三角阵。

电算时，置换阵可用一整型数组表示（记录主行），由单位阵第行和第行互换得到 (当)。