6.7 向量和矩阵的范数

为了对方程组的计算解进行误差分析，为了讨论迭代法的收敛性，需要对(维列向量空间)中向量及中矩阵引进某种度量，即引进向量或矩阵的范数概念。中向量范数是中向量长度概念的推广。

定义1   (向量范数)

如果向量的某个实值函数满足条件：

(1)正定条件：,且是向量。

(2)齐次性：，为实数。

(3)三角不等式：，对任意向量；

称是上的一个向量范数(或向量的模)。

(4)利用三角不等式可推得

中三角不等式，即为两边之和大于第三边。

图 6-2

定义2　设,定义上三种常用的向量范数：

(1)向量的“1”范数   

(2)向量的“∞”范数  

(3)向量的“2”范数   

容易验证 ，上述定义的向量函数,满足定义1的3个条件，因此，是上向量的范数。

例8 设，计算。

解 

      

      

定义3  (向量序列的极限)

设为向量序列，记为,及。如果个数列极限存在，且,则称收敛于，且记。

定理7 设是中一向量序列，且，则

证明　只就证明。

显然有

定义4  (矩阵的范数)

如果矩阵的某个非负实值函数满足下述条件：

(1) 正定性：，且矩阵；

(2) 齐次性：，为实数；

(3) 三角不等式：，对任意矩阵；

(4)  ,称是 上一个矩阵范数（或称为模）。

在大多数应用问题中，矩阵和向量是有关系的，下面借助于向量范数来定义矩阵范数。

定义5 （矩阵的算子范数）

设 ,且给出一种向量范数，相应地定义一个矩阵的非负函数，即

    (最大比值)          　　　　(6.7.1)

显然，由(6.7.1）式对任意有

               　(6.7.2)

且容易验证满足矩阵范数条件，所以是 上矩阵的范数，称为的算子范数。

下面验证条件(3) 成立。事实上，利用向量范数的三角不等式及 (6.7.2) 则有

设，故有

于是   

下面给出时的向量范数，来推导矩阵算子范数的计算公式。

定理8 (矩阵范数计算公式)

设，则

(1) 对应 （称为的列范数）；

(2)对应 (称为的列范数)。

证明  只证(2)，同理可证(1)。

设且设，引进记号

于是

即对任何非零向量，则有

下面说明存在，使比值。

事实上，选取向量为

且有，的第个向量为

故

即 

例9  设，计算。

解

定理9   如果,则为非奇异阵，且有估计

是矩阵的算子范式。

证明  反证法，如果,则齐次方程组有非零解，即且，于是有

故有，此与假设矛盾。

由,于是

所以