7.4 阿达姆斯方法

4.1 线性多步方法

前面介绍的几种步进方法在计算时，大多只用到前一个节点上的近似值,而没有用到前几步计算所得出的信息，故称单步法。实际上，经过多次单步法计算后，己得出一系列近似值和等。为了充分利用这些信息来计算,以减少计算工作量和获得较高的精度，可采用如下的计算公式：

　　　　　　　　　　　　　（7.4.1）

其中，和为常数，。

式（7.4.1）是用前面若干节点处的函数值与导数值的线性组合来计算的近似值,所以通称为线性多步法。

当时为单步法，时为多步法（步法）。当时为显式，时为隐式。前面讲过的中点欧拉格式（7.2.8）就属于多步法（二步法）。

式（7.4.1）的系数可利用泰勒展开后的待定系数法确定。

4.2  显式和隐式阿达姆斯格式

线性多步法（7.4.1）式中的某些特殊公式，也可由数值积分法来导出。

将微分方程（7.1.1）的两边从到积分，即可改写成等价的积分方程

              　　　  （7.4.2）

由于上式中的内包含了未知函数,因此等式右边的积分无法直接算出，但可利用数值积分公式导出一系列计算方法。现用牛顿向后插值多项式来逼近式（7.4.2）中的，以导出一种线性多步法——阿达姆斯（Adams）方法。

设由共个数据来构造一个阶牛顿向后插值多项式,则由第二章可知，阶牛顿向后插值公式为

其余项为

把它们代入式（7.4.2），且利用,可得

  　　　 (7.4.3）

当有界，且时，可以估计出上式中的

此即为截断误差项。于是可得

　　　　　　　　　　　　　(7.4.4）

当时：

即为显式欧拉格式，其局部截断误差为

当时：

因为   及

所以  

    　　　　　　 （7.4.5）

式中　　

把式（7.4.5）代入式（7.4.4）后，可得

              （7.4.6）

式中　　

所以   

 

代入式（7.4.6）后得

其中

局部截断误差为

对应于不同值下的和值均可算出，并分别列于下表中。

表 7-3

	0	1	2	3	4	5
0	1						1/2
1	3/2	-1/2					5/12
2	23/12	-16/12	5/12				3/8
3	55/24	-59/24	37/24	-9/24			251/720
4	1901/720	-2774/720	2626/720	-1274/720	251/720		95/288
5	4277/1440	-7923/1440	9982/1440	-7298/1440	2877/1440	-476/1440	10987/60480

当时，

当时，

　　　　　     　　（7.4.7）

其中，时的式（7.4.7）成为阿达姆斯四步显式方法，因为它要用到前面四个节点上的值，是一种最常用的多步算法，其精度为四阶。

    式（7.4.2）中的也可用牛顿内插多项式来逼近。设由共个数据来构造一个牛顿内插多项式则与上面类似推导，可得

局部截断误差为

    对于不同值下的和值均可算出，并分别列于下表中。

表 7-4

	0	1	2	3	4	5
0	1						-1/2
1	1/2	1/2					-1/12
2	5/12	8/12	-1/12				-1/24
3	9/12	19/24	-5/24	1/24			-19/720
4	251/720	646/720	-261/720	106/720	-19/720		-3/160
5	475/1440	1427/1440	-798/1440	482/1440	-173/1440	27/1440	-863/60480

当时，

即为隐式欧拉格式，其局部截断误差为

当时，

即为梯形格式，其局部截断误差为

当时，

当时，

     　　　（7.4.8）

其中，时的式（7.4.8）称为三步四阶阿达姆斯隐式算法，它只用到前面三个节点上的值，但其精度却是四阶。

阿达姆斯方法显式与隐式的比较如下：

⑴同一阶数下，隐式的局部截断误差的系数的绝对值比显式的要小；

⑵显式的计算工作量比隐式的小；

⑶隐式的稳定范围比显式的大。

例3 试分别用阿达姆斯四步显式方法和三步隐式方法求解下列初值问题，并比较两者所得结果的精度：

解   取

两种方法的具体算式如下：

四步显式方法

　　　　　　　　　　　（7.4.9）

三步隐式方法

即

        　　　　      （7.4.10）

预测点（初值）可用同阶的法计算。本例题中则是从精确解（已知）算出。

由式（7.4.9）及（7.4.10）算出的结果分别列于下表中。

表 7-5

	四步显式方法		三步隐式方法		精度解
0.3			0.740818006	2.14×10-7	0.740818220
0.4	0.670322919	2.873×10-6	0.670319661	3.85×10-7	0.670320046
0.5	0.606535474	4.815×10-6	0.606530138	5.12×10-7	0.606530659
0.6	0.548818406	6.770×10-6	0.548811007	6.29×10-7	0.548811636
0.7	0.496593391	8.088×10-6	0.496584592	7.11×10-7	0.496585303
0.8	0.449228154	9.190×10-6	0.449328191	7.73×10-7	0.449328964
0.9	0.406579611	9.952×10-6	0.406568844	8.15×10-7	0.406569659
1	0.367889955	1.051×10-6	0.367878598	8.43×10-7	0.3678794

从表种可见，隐式的精度比同阶显式的要高。

 

4.3  阿达姆斯预测——校正方法

阿达姆斯隐式方法在计算过程中，一般往往遇到要解超越方程。例如下列定解问题

其阿达姆斯三步隐式方法的算式为

很难化成的显式表达，只能用迭代的方法，这就会增加计算工作量。因此，在实际计算中，往往仿照改进的欧拉格式的构造方法，把显式和隐式两种阿达姆斯格式结合起来，构成预测－校正系统。

以四阶阿达姆斯方法为例，先由显式方法算出近似值，作为隐式方法的预测值，然后再做校正。

　  　　　　　（7.4.11）

用上式计算时，既要用到它前一步的信息和,还要用到更前面三步的信息，和。它是一种四步法，无法自行启动，需用其他四阶单步法（如四阶方法）先从算出，和作为其初值，然后按式（7.4.11）进行迭代。

阿达姆斯预测—校正方法的程序框图见图7-7。

图 7-7

例4　试用阿达姆斯预测—校正方法求解下列初值问题：

解　取。按式（7.4.11）进行计算，计算结果列于下表中。

0 0.1 0.2 0.3		1 1.0954 1.1832 1.2649	1 1.0954 1.1832 1.2649
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1	1.3405 1.4141 1.4832 1.5491 1.6124 1.6733 1.7320	1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6124 1.6733 1.7320	1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321

表中的,和分别为预测值，校正值和精确解（）。

4.4   阿达姆斯预测——矫正方法的改进

阿达姆斯预测——校正方法与李查逊外推法相结合，可以提高计算精度而不会增加过大的计算工作量。

预测公式的局部截断误差为

              （7.4.12）

校正公式的局部截断误差为

             （7.4.13）

式（7.4.12）—式（7.4.13）得

即

把上式分别代入式(7.4.12)和(7.4.13)，可得

即

由上两式可知，如果采用式中方括号内的与的组合，可望使局部截断误差达到O(),即精度可望提高一阶。

设和分别为第i步的预测值和校正值，则可取

和

分别作为的改进值，其具体算式如下：

         （7.4.14）

用（7.4.14）式计算时需要用到前几步的信息和,故无法自行启动，也需要用其他四阶单步法（如四阶R-K方法）算出作为其初值，然后按式（7.4.14）进行迭代计算。其中，可令其为零。