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知识点五:公理化方法的意义和作用



首先,这种方法具有分析、归纳和总结数学知识的作用,把分散的、杂乱的、支离片断的几何知识整理成为一门完整的、严密的、系统的科学体系,欧几里德几何学形成过程就是一个典型代表。科学的、系统的科学体系不仅便于学习掌握,而且更有利于建立各种模型,具有更加广泛的运用的可能,也标志着这门科学的成熟。当然,公理化方法必须在人们的实践活动中,不断的积累大量的实证材料,不断的进行发明创造工作的前提下,才能发挥其应有的作用。在数学的研究工作中,如果没有新的观点、新的方法、新的材料的创建,而只是着眼公理化工作,就会使数学变成对旧的知识的重新排列和严格化,这样的研究必将失去活力。

其次,公理化方法可以将一门数学分支的基础分析得清清楚楚,从而有利于比较不同几何学的本质差异和逻辑相关性.,从而达到严格区分不同几何学的目的。例如通过对于欧几里德几何的公理系统和罗巴切夫斯基几何的公理系统进行对比,可以清楚的看出这两者的区别就在于平行公理的对立,而其它公理完全相同。因此,用平行公理以外的其他公理导出来的概念和定理体系是两种几何学所共有的,一般称为中性几何或绝对几何,相应的结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理统称为绝对公理。

再次,几何公理化方法对科学方法论有示范作用,说明了科学方法的重要性,推动了对科学方法的研究。这种方法产生于几何,同样也适用于其它数学学科,在代数学、概率论、泛函分析、现代数理逻辑、拓扑学等学科的研究和整理中都起到了重要的作用,此外还渗透到其它自然科学领域,如理论力学和相对论的公理化等等。

当然,公理化方法并不是研究数学的唯一方法,代数方法、拓扑方法、统计方法等等,也是研究数学的方法。