在漫长的岁月里，世界上许多数学家针对欧几里得所著《几何原本》中对概念处理上的缺欠和公理不够用等问题进行了改进和补充工作。提出了许多有创见的论述和成果。直到19世纪末德国数学家希尔伯特整理和发展了之前数学家对公理化方法的研究成果，于1899年发表了经典著作《几何基础》，在书中，希尔伯特提出了研究公理系统的三个基本问题，即公理系统的相容性（即无矛盾性）、独立性和完备性。

任何一个公理系统都要满足无矛盾性。证明公理系统的相容性常用的方法是模型法，举个具体例子来说明，给希尔伯特《几何原本》一书中，第一组公理I_1-8选一个模型。

取一个四面体，约定将它的顶点叫做“点”。棱叫做“直线”，面叫做“平面”，在这个模型中。构成几何元素的集合是四点、六直线、四平面。

容易验证，这个四面体模型的存在表明结合公理I_1-8是相容的。

在建立公理系统时，一般总希望其系统的公理数量是最少的。这自然就引出了独立性问题。然而在一个公理系统中使每条公理都具有独立性是一个比较复杂的问题，对公理系统而言，很难说其中的每一条公理都是独立的，但这并不破坏整个体系的建立。

历史上许多数学家都有企图用《几何原本》的其余公理来证明第五公设。结果均告失败，其根本原因是由于第五公设的独立性。

证明公理系统的完备性就是证明它的所有模型都同构，几何公理系统的完备性只涉及到少数几何公理系统，如欧氏几何、罗氏几何，大部分公理系统并不具有完备性。如绝对几何、拓朴空间等公理系统。这种不完备性具有更重要的意义，因为以它们为基础可以派生出许多新的空间。

例如：绝对几何公理系统，因为所有欧氏几何与罗氏几何的模型也都是绝对几何模型，但对于“三角形内角和”命题来说，有的是“二直角”有的是“小于二直角”，故绝对几何公理系统是不完备的。

希尔伯特提出，确定公理系统时，应该满足一下三个要求，称为公理系统的基本问题。

1.公理系统的相容性

公理系统的相容性也称为无矛盾性或和谐性。

如果命题 和命题 的题设相同而题断相互矛盾，则称命题 与命题 为矛盾命题，或称反命题。

定义  一个公理系统及其一切推论不含矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。

任何一个公理系统都必须具有无矛盾性，这是几何学选择公理系统的前提。否则，由这个公理系统建立的机会结构就是一个矛盾百出的、不合理的结构，这在逻辑学上是不允许的，这样的理论是没有意义的。

如何证明公理系统是相容的呢？

一个公理系统及其推论可能有许许多多，而且还可能不断地提出新定理，因此不可能通过一一检验来判断该系统有没有矛盾命题，需要一种方便可行的方法来解决，这就是模型法。

模型法的基本思想是：只要公理系统存在一个真实可靠的无矛盾的模型 ，则系统就是无矛盾的。因为中的对象和关系与中的具体事物和关系是一一对应的，因此由系统推导出的命题与模型中具有事物间的规律也具有一一对应关系。如果由系统能推出两个互相矛盾的命题，这矛盾必然出现在的具体事物之中，这就破坏了的真实性和无矛盾性，这是不可能的。因此系统是相容的。

例如，证明欧式几何的希尔伯特公理系统的相容性时，可以建立笛卡尔模型。它立足于解析几何的基础之上，而解析几何又是建立在实数运算理论之上，只要实数运算无矛盾，则笛卡尔模型就是无矛盾的，真实的，从而希尔伯特公理系统无矛盾。

又例如，证明罗氏平面几何公理系统无矛盾，可利用卡莱-克莱因模型。这个模型是建立在欧式平面的一个圆内，只要欧氏几何的公理系统无矛盾，则圆内由点、弦构成的几何命题就是无矛盾的，因这些命题与罗氏平面上的命题一一对应，所以罗氏平面几何的公理系统也必是无矛盾的。

通过上面两个例子，证明了欧氏几何和罗氏几何是无矛盾的体系。从中还可以看出：第一，罗氏公理系统的相容性归结为欧氏几何公里系统的相容性，而欧氏公理系统的相容性又归结为实数运算的相容性，因此两个系统的相容性最终归结为实数运算的相容性，只要实数运算是无矛盾的，则欧式和罗氏几何公理系统就是相容的，故相容性的证明是相对的；第二，实数运算的真实性和无矛盾性是经过实践被公认的，说明公里系统的相容性，归根到底还是通过实践来验证的，实践才是检验真理的标准。

2.公理系统的独立性

在确定一个公理系统时，总希望挑选的公理个数是尽可能的少，使作为基础的公理少而完备，简单而明确，便于掌握应用，这就是公理系统的独立性问题。

定义  如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不是其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的每条公理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。

怎样证明一个公理系统是独立的呢？一般归结为公理系统的无矛盾性。

已知公理系统，它包含 条公理 。现在证明其中的 是独立的，其步骤是:首先在中去掉，把剩余的公理组记作，再在中添加的矛盾命题，得到新的公理系统；其次证明公理系统是无矛盾的系统，这就证明了在公理系统的中独立性。理由是：假设公理在系统中不独立，则是在中去掉后其余公理的推论，这时在系统中同时出现与，这和系统的相容性矛盾，所以在公理系统的中是独立性的。

例如，罗氏几何的存在，证明了欧氏平行公理在欧式几何公理体系中的独立性。

实际上欧氏平行公理与罗氏平行公理是相互矛盾的命题。如果在希尔伯特公理体系中，将平行公理换成罗氏平行公理就构成了罗氏公理体系，因为我们已经通过模型法证明了罗氏公理系统的无矛盾性，从而证明了欧氏平行公理在欧式几何公理体系中的独立性。

3.公理系统的完备性

如果我们想建立一门几何学（例如欧氏几何学），事先已经确定了它的原始对象和关系，即选定了原始概念（如点、直线、平面、结合关系、介于关系和线段、角相等），以及给出了一个公理系统 ,那么以公理系统为根据，应该对由原始概念所构成的每个命题，能够证明出它是真命题或假命题，如果是真的，它便是一条定理，如果命题不真，它的否定便是一条定理。如果有一些由原始概念构成的命题，用给出的公理系统不能证明它们是真或者是假，说明中的公理不够用，需要再增加某些公理，直至对每个命题都能够证明出是真是假为止。设最后给出的公理系统为 ，这时建立这门几何学的公理就完全够用了。对而言，不可能再增加更多的公理，否则增加的公理必是由原始概念构成的命题，它的真假性必可以依据公理系统为的公理加以证明。如果它是真的，便是一条定理，把它增加到中，并不能增加任何新的内容，只不过使不具有独立性而已；如果它是假的，把它增加到中，便破坏了公理系统的无矛盾性，因为它的否定是公理系统推出的一条定理，这时就出现了两个矛盾命题。

上述这样得到的几何学的公理系统称为完备的公理系统，或者说公理系统具有完备性。例如欧几里得几何的公理系统的形成，最初是《几何原本》的五条公设，这是不够用的，后来经过不断地补充和改进，最后由希尔伯特整理出一套既无矛盾又具有独立性的完备的公理系统。

怎样验证公理系统的完备性呢？按照上面的说法来验证是难以实现的，因为如果由原始概念构成的命题的个数是无尽无休的，无法说明公理是否够用，为此需要借助模型的同构思想来解决验证公理系统的完备性问题。

一个公理系统中公理个数越少，则选取它的模型的自由度越大。因为如果公理系统 的公理个数少于系统 的公理个数，且，则的模型一定是的模型，反过来就不一定成立。

定义  如果公理系统 有两个模型，它们的对象与对象之间可以建立一个一一对应，使得对应对象之间有完全相同的相互关系，即表示同样性质的对应定理，则称模型是同构的。

设公理系统的模型为 ，在保持相容性和独立性的条件下，对增加公理使它扩大为，设的模型为，则都是的模型，但不一定是的模型，即的范畴较大，这说明对的模型的选取，其自由度随着公理的扩大越来越小。当公理系统扩大至时，则它的模型就都是同构的，因此不存在范畴更大的模型了。基于这种认识，可以把公理系统的完备性定义如下：

定义  如果公理系统的所有模型都是同构的，则称系统是完备的，或称具有完备性。

欧氏几何的希尔伯特公理系统是完备的，因为它的模型都与笛卡尔模型同构。罗氏几何的公理系统也是完备的。现行几何课本，包含15条公理，但公理仍然不够用，没有顺序公理和连续公理等，因此是不完备的。