1答：一个定义是由被定义的概念、定义概念和关联词三部分组成。

2.答：公式：种差+临近的属=被定义的概念；例如：两组对边分别平行（种差）的四边形（临近的属）称为平行四边形 （被定义的概念）。

3.答：逻辑证明由以下三部分组成：

(1)论题（即是真实性需要加以证明的命题）；

(2)论据（是证明论题真实性时所依据的那些真实的命题）；

(3)论证（是由论据证明出论题结论的推理过程）。

4.答： 公理系统的相容性也称为无矛盾性或和谐性。

一个公理系统及其一切推论不含矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。

任何一个公理系统都必须具有无矛盾性，这是几何学选择公理系统的前提。否则，由这个公理系统建立的机会结构就是一个矛盾百出的、不合理的结构，这在逻辑学上是不允许的，这样的理论是没有意义的。

如何证明公理系统是相容的呢？

一个公理系统及其推论可能有许许多多，而且还可能不断地提出新定理，因此不可能通过一一检验来判断该系统有没有矛盾命题，需要一种方便可行的方法来解决，这就是模型法。

模型法的基本思想是：只要公理系统存在一个真实可靠的无矛盾的模型 ，则系统就是无矛盾的。因为中的对象和关系与中的具体事物和关系是一一对应的，因此由系统推导出的命题与模型中具有事物间的规律也具有一一对应关系。如果由系统能推出两个互相矛盾的命题，这矛盾必然出现在的具体事物之中，这就破坏了的真实性和无矛盾性，这是不可能的。因此系统是相容的。

例如，证明欧式几何的希尔伯特公理系统的相容性时，可以建立笛卡尔模型。它立足于解析几何的基础之上，而解析几何又是建立在实数运算理论之上，只要实数运算无矛盾，则笛卡尔模型就是无矛盾的，真实的，从而希尔伯特公理系统无矛盾。

5. 答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不是其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的每条公理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。

怎样证明一个公理系统是独立的呢？一般归结为公理系统的无矛盾性。

已知公理系统，它包含 条公理 。现在证明其中的 是独立的，其步骤是:首先在中去掉，把剩余的公理组记作，再在中添加的矛盾命题，得到新的公理系统；其次证明公理系统是无矛盾的系统，这就证明了在公理系统的中独立性。理由是：假设公理在系统中不独立，则是在中去掉后其余公理的推论，这时在系统中同时出现与，这和系统的相容性矛盾，所以在公理系统的中是独立性的。

例如，罗氏几何的存在，证明了欧氏平行公理在欧式几何公理体系中的独立性。

实际上欧氏平行公理与罗氏平行公理是相互矛盾的命题。如果在希尔伯特公理体系中，将平行公理换成罗氏平行公理就构成了罗氏公理体系，因为我们已经通过模型法证明了罗氏公理系统的无矛盾性，从而证明了欧氏平行公理在欧式几何公理体系中的独立性。

6. 答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称系统是完备的，或称具有完备性。

设公理系统的模型为 ，在保持相容性和独立性的条件下，对增加公理使它扩大为，设的模型为，则都是的模型，但不一定是的模型，即的范畴较大，这说明对的模型的选取，其自由度随着公理的扩大越来越小。当公理系统扩大至时，则它的模型就都是同构的，因此不存在范畴更大的模型了。基于这种认识，可以把公理系统的完备性定义如下：

欧氏几何的希尔伯特公理系统是完备的，因为它的模型都与笛卡尔模型同构。

7. 答：中学平面几何公理系统中的并不是所有公理都具有独立性，例如判定三角形全等的三条公理:公理6（边角边公理）    有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

公理7（角边角公理）    有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

公理8（边边边公理）    有三边对应相等的两个三角形全等。

公理7，8实际上是公理6的推论，是可以证明的。