原始概念和定义的概念

几何对象都是通过概念的形式表述出来的，公理化几何的概念分为原始概念和定义概念两种。

1.原始概念

原始概念是作为研究内容提出的而本身又不加定义的概念。

公理是指用以导出其它几何原理的不再加以证明的基本原理。

原始概念包含原始元素（图形）和原始关系二类。

原始元素，是组成几何图形的最简单、最基本的几何元素。原始关系是原始图形间的基本几何关系。

例 希尔伯特公理系统中，原始概念有：

原始元素：点、直线、平面。

原始关系：结合关系、介于关系、线段合同关系和角合同关系。

原始概念无定义，其具有的属性隐含于公理中，即通过公理来确定、制约，或者说来间接定义。

2.定义的概念

定义是揭示概念本质属性的逻辑方法。概念有明确的定义才能从本质上把不同的概念区别开来。用公理化建立的几何公理体系所定义的概念，无非是由少数原始概念遵循公理的要求和一定条件组合而成的新的概念。

一个定义是由被定义的概念、定义概念和联结词三个部分组成。被定义的概念也称为被定义项，就是要揭示其本质属性的概念；定义概念也称定义项，是用来揭示被定义概念属性的那些已知的旧概念；被定义概念与定义概念之间用联结词联结起来，几何中常用的联结词有“叫做”、“称为”、“是”等。

下定义的方法有多种，下面举几个常用的方法。

（1）属加种差的定义（这是一种常用的、古典的定义方法）

其公式为：种差+邻近的属=被定义的概念

例如：

两组对边分别平行（种差）的四边形（邻近的属）称为平行四边形（被定义项）。

一组对边平行，另一组对边不平行（种差）的四边形（邻近的属）称为梯形（被定义项）。

有一个内角是直角（种差）的平行四边形（邻近的属）称为矩形（被定义项）。

邻边相等（种差）的平行四边形（邻近的属）称为菱形（被定义项）。

邻边相等（种差）的矩形（邻近的属）称为正方形（被定义项）。

有一个内角为直角（种差）的菱形（邻近的属）称为正方形（被定义项）。

（1） 发生定义

用事物发生或形成过程中的情况来下定义的方法。

例如：

依次连结任意三点不共线的几个点成线段，所构成的图形称为折线。

平面上到定点有等距离的点构成的图形称为圆。

2） 外延定义

通过指出外延来下定义的方法。

例如：

正整数、负整数、正分数、负分数、零统称为有理数。

（3） 关系定义

以事物间的关系作为种差的定义方法。

例如：

如果在与中，边，那么称这两个三角形全等。

如果一个角与其邻补角相等，那么此角称为直角。

（4） 公理化定义

在公理化的结构中，原始概念是没有定义的，描述这些概念的属性的公理的总体，可以认为是这些概念的间接定义。

例如：

中学几何中的点、直线、平面等，其属性都是由公理制约，由公理间接定义的。