1.几何公理

公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种体系的少数思想规定。

在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据的定理又要依据另外的定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。因此需要选取一些不加证明的命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。

公理是怎样选取的呢？有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定惟一一条直线”这条公理；有的是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们有的不甚直观、显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理。

公理总是直接或间接地来源于实践，绝非科学家随心所欲地空想。例如罗氏几何平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实（概念、理论、方法）作为基础，受试证欧氏第五公设的启示；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和科学技术的不断革命所决定，这些都为罗氏几何平行公理的出现做了必要的准备。理论的产生以实践为基础，但随着实践的发展和水平的提高，它也往往走在实践的前面，“虚数”、“非欧几何”都是这样。判断一个理论或者公理是否正确，不是依据主观上觉得如何而定，而是依据客观上社会实践的结果而定。只有实践才是检验真理的惟一标准。

2.几何公理系统

用公理化方法建立一门几何演绎体系时，最基本的是确立该几何学的公理体系。

作为一门几何学基础的原始概念和全部公理称为该几何学的公理系统，满足公理系统的几何图形的集合称为几何空间。

例如：希尔伯特（D.Hilbert，公元1862年---1943年，德国人）给出的欧几里得几何学的公理系统。

欧几里得几何学就有不同的公理系统，其中希尔伯特公理系统实际上是欧几里得几何的一个完善的公理体系。

德国数学家希尔伯特是数学基础研究领域中形式主义学派的重要代表人物，他在多种学科中取得重要成果，于1899年发表了经典著作《几何基础》一书。在书中，他第一次提出作为欧几里得基础的完备的公理系统，从而结束了2000多年来对《几何原本》中公理的补充和改进工作。

希尔伯特公理系统总共有20条公理，并把它们按照本身的作用分成五组，这种自然的划分，使几何学的公理结构变得非常清楚。希尔伯特还把几何概念建立在少数原始概念的基础上，由公理制约原始概念的属性。希尔伯特公理系统达到高度抽象化，以至形成化或纯粹符号化；他还示范性的用他的五组公理，初步建立了逻辑严密的欧氏几何演绎体系，以及给出了确定公理系统的三个基本问题，即公理系统的无矛盾性、各公理的独立性和公理系统的完备性，并给出了证明这些原则的一些方法。

希尔伯特公理系统的纲要：

1.原始元素：点、直线、平面

点用大写拉丁字母、、、等表示

直线用小写字母、、、等表示

平面用希腊字母、、等表示

2，原始关系：结合关系、介于关系、合同关系

结合关系（属于关系）用“” “”等术语表达。

介于关系：一点在另两点之间

合同关系：线段相等、角相等

3.公理系统：结合公理组、顺序公理组、合同公理组、连续公理组、平行公理

（1） 结合公理组

公理I₁对于任意两点、，恒存在直线通过它们。（两点指不同的点）

公理I₂对于任意两点、，至多存在一条直线通过它们

上面两条公理肯定了通过任意两点存在惟一一条直线。

公理I₃在一条直线上至少有两个点，；至少存在三个点不在一条直线上。

以上三条公理只确定点与直线的结合关系，是平面几何的结合公理，建立空间几何还需要引进以下公理I₄~I₈

公理I₄对于任意三个不在一条直线上的点、、，存在平面通过它们。每个平面上至少有一个点。

公理I₅对于任意三个不在一条直线上的点、、，至多有一个平面通过它们。

 公理I₆如果直线上的两个点、在平面上，则直线上的每个点在平面上。

 公理I₇如果两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点。

公理I₈至少有四个点不在同一平面上。

（2）  顺序公理组

顺序公理是确定原始关系“介于”或“一点在两点之间”的公理

公理II₁如果介于点和点之间，则、、是直线上三点，而且也介于和之间。

公理II₂对任意两点、，在直线上至少存在一个点，使介于和之间

公理II₃在一直线上的任意三点中，至多有一点介于其余两点之间

以上三条公理是直线上的顺序关系。

公理II₄（帕士公理）设、、是不在一条直线上的三个点，是、、三点所决定平面上的一条直线，并且不通过三点中任何一个。如果直线通过线段的一个内点，则直线一定要通过线段或线段之一的一个内点。

在结合公理的基础上，依据顺序公理可以建立点在直线上的位置关系，主要是确定线段、射线、线段的内点、外点，直线上某点的同侧和异侧以及外延线等概念和相关定理；证明直线上的点是无穷的、有序的；还可以建立平面上点的位置关系，如直线将平面划分成两个半平面，图形将平面分割成不同的区域，从而确定内部和外部，以及直线的同侧和异侧等概念和相关定理；确定角内过顶点射线的顺序以及空间里点的位置关系等。

（3）合同公理组

合同公理所涉及的原始关系是“线段相等”和“角相等”，它们的属性由下列公理来制约。

公理III₁设是直线上的两点，是同一直线或另一直线上的一点。则在上的已知一侧，一定可以找出一个点，使线段合同于（或相等于）线段，记做。对于每个线段有。（这里的线段是无向线段，即长度）

公理III₂如果两线段都合同于第三线段，则这两个线段也合同。

公理III₃设和是直线上的两个线段，没有公共的内部点。又设和是同一直线或另一直线上的两条线段，没有公共的内部点。如果，，则。

这条公理肯定了合同线段的可加性。

公理III₄如果在平面上已知，在同一个或另一个平面上给定一直线，并且在平面上指定了直线的确定一侧，以及上从一点出发的射线。则在平面上直线予先指的那一侧，存在惟一一条以为端点的射线，使得合同于（或相等于）。

公理III₅如果两个三角形和之间有合同关系

，，

则必有，

在结合、顺序公理的基础上，依据合同公理组可以建立线段的大小、角的大小的比较，三角形合同的判定定理，三角形的性质，线段的中点和角的平分线的性质，直角和垂直的性质等概念和定理，以及立体几何的有关定理，特别地可以证明不相交直线的存在。

例如：

外角定理  三角形的每个外角都大于任意一个不相邻的内角。

不相交直线的存在性定理  如果平面上两条直线与第三条直线相交，有一组同位角相等，则这两条直线不相交。

定义  如果四边形，，则这个四边形称为萨开里四边形。与分别称为上、下底；与称为腰，称为上底角。

定理  萨开里四边形的上下底中点连线与两底垂直，两个上底角相等。

定理  在四边形中，如果边上的两个内角，那么当时，有；反过来，当时，有。

（4）连续公理组

公理iv₁（阿基米德命题）设是任意两个线段，则在直线上存在有限个点，它们排成顺序：点介于和之间，点介于点和之间等等，又，并且使得点介于点和点之间。（康托尔命题）

公理iv₂（康托尔命题）设直线上存在线段的无穷序列，其中后一线段都在前一个线段的内部，且对于任何线段，恒有使则必有一点，落在所有线段的内部。

在以上三组公理的基础上，再依据连续公理组可以给出线段的长度概念，证明线段长度的存在性和唯一性；证明直线上点的连续性，即和实数一一对应；证明直线交圆、圆交圆两个圆规命题；建立角的度量理论，还可以证明下面定理：

定理  三角形内角之和不大于二直角。

定理（戴德金分割原理）  如果有向直线（或线段）上的所以点被分成如下两类：

（1）每个点属于且直属于一类，每个类里都含有点；

（2）第一类里的所有点都在第二类里所有点的前面。

那么，或者在第一类里有最后点，或者在第二类里有最前点，两者必居其一。

定理 （角内射线的戴德金分割原理）如果一个角内的有序射线被分成如下两类：

（1）每一射线属于且直属于一类，每个类里都有射线；

（2）第一类里的所有射线都在第二类里所有射线的前面。

那么，或者在第一类里有最后射线，或者在第二类里有最前射线，两者必居其一。  

（5） 平行公理

欧几里得几何平行公理的最初形式是第五公设，希尔伯特采用了与第五公设等价的普雷菲尔（Playfair，公元1748----1819年）命题。

公理V（欧几里得平行公理）在平面上，通过直线外一点至多存在一条直线与已知直线不相交。

上面我们已经提过，用绝对公理可以证明平行线的存在性，平行公理V和平行线存在性相结合，可以得出：

定理  在平面上，通过直线外一点存在惟一一条直线与已知直线平行。

这就是中学平面几何里的平行公理。

在绝对公理系统的基础上，依据平行公理V，可以推出许许多多的定理，这些定理离开了平行公理是绝对证明不了的，它们被称为真正的欧几里得命题，是欧氏几何与罗氏几何不同的基本特征。下面择主要内容加以介绍。

（1） 关于平行线的性质定理

定理  两条平行线与另一条直线相交构成的同位角相等、内错角相等、同旁内角之和等于二直角。

定理  （欧几里得第五公设）已知直线、与直线交于、，同旁内角和之和小于二直角。

定义  两条平行直线的公垂线段长称为两平行线间的距离。

定理  平行线间的距离处处相等。

（2） 多边形及其内角和定理

在绝对几何里三角形内角和不大于二直角，有了平行公理V，就可以证明如下定理：

定理  三角形内角和等于二直角。

定理  三角形的外角和等于不相邻的两个内角之和。

定理  凸边形的内角和等于，其中，表示直角。

定理  边形的外角和等于，其中，表示直角。

（3） 平行四边形及其性质

定理（性质定理）平行四边形具有下列性质：

1） 对角相等；

2） 对边相等；

3） 对角线互相平分。

定理（判定定理）如果平面四边形具有下列条件之一，那么四边形为平行四边形：

1） 一组对边平行且相等；

2） 两组对边分别相等；

3） 两组对角分别相等；

4） 对角线互相平分。

定理  矩形存在，且它的内角都是直角，它的对角线相等。

（4） 相似形理论

定理（平行线截割两直线成比例线段定理）  两条直线被互相平行的直线截得的对应线段成比例。

定理  平行于三角形的一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形和原来的三角形相似。

定理（相似三角形判定定理）  如果两个三角形满足下列条件之一，那么这两个三角形相似：

1） 两对对应角相等；

2） 两对对应边成比例且夹角相等；

3） 散对对应边成比例；

4） 两对对应边成比例且其中大边的对应角相等。

（5） 直角三角形的边、角计算

定理（勾股定理）  直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。逆命题也成立。

定理  直角三角形两边之比只依赖于它的锐角大小。

（6） 与解析几何有关的定理

依据连续公理可以建立数轴和平面上点的坐标，使平面上的点与有数数对之间建立一一对应，但是要想成为直角坐标系，还需解决以下的定理。

定理  已知平面上两条垂直的直线，垂足为，为平面上不在两直线上的任意一点，到两直线的垂直线段分别为和，则四边形是一个矩形。

定理  给出直角坐标系，则平面上两点与间的距离为

依据这两个定理可以导出平面解析几何的一系列结果实际上，中学解析几何是根据欧几里得公理体系建立的，因此称为欧几里得的平面解析几何。类似的可以建立欧几里得的空间解析几何。

（7） 与圆有关的定理

与圆有关的定理比较多，有些是绝对几何命题，有些是非绝对几何命题。下面列举一些必须依据平行公理V才能证明的定理。

定理  通过不共线的三点有且仅有一个圆。

定理  圆弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

定理  同弧所对的圆周角相等。

定理  直径所对的圆周角等于直角。

定理 （弦切角定理）弦切角等于同弧所对的圆周角。

定理  圆内接四边形对角互补。

定理  圆的周长与其直径的比是一个常数。

（8） 多边形面积理论

定义  多边形的面积是满足下列条件的正数：

（1） 如果两个多边形全等，则它们的面积相等（面积的不变性）；

（2） 如果将一个多边形分为两个多边形，则这个多边形的面积等于分成的两个多边形的面积之和；

（3） 有一个多边形的面积为1（称为单位面积）。

多边形面积的定义类似于线段长度的定义，其计算也转化为线段长度的计算。

以边长为1的正方形作为面积单位，多边形面积是单位面积的倍数。对于一些特殊多边形，如果面积存在，那么可以得出如下的一些定理。

定理  矩形的面积等于底与高的乘积（或长与宽的乘积）。

定理  平行四边形的面积等于底与高的乘积。

定理  三角形的面积等于底与高乘积的一半。

定理  梯形的面积等于上下底之和与高成就的一半。

定义  将多边形剖分成有限个三角形，所以剖分出的三角形面积之和为多边形面积。

多边形面积理论还需要解决如下两个问题：

第一， 证明多边形面积与剖分无关；

第二， 证明多边形面积的存在性与惟一性。

定理  无论用什么方法将已知多边形剖分成有限个三角形，这些三角形面积之和恒有同一数值。

定理  如果取定面积单位面积，那么每个多边形都对应一个正数作为它的面积，而且面积是惟一的。

以上仅就八个方面，说明平行公理的主要作用，这些推论仅仅是平行公理的部分推论，都是欧氏几何所特有的，基本上体现了欧氏几何的特性。