欧几里得几何学是几何学最早诞生的几何分支，也是最早实现公理化的科学体系，它的发展历史代表了几何学早期发展的基本情况。

几何学是在人类生活和生产实践中产生和发展起来的，中国、埃及、巴比伦以及印度等文明古国都是几何学的重要发源地。当人类进入石器时代，从打猎、捕鱼和采集食物当中，就初步认识了一些简单的几何图形。由于农牧业、手工业、土木建筑业的出现和发展，人们为了解决生产中遇到的测量、制图、几何计算、天文等实际问题，发现了更多的几何知识，而且开始讨论各种几何图形的性质和相互关系，概括出某些几何规律，逐步积累了大量的几何知识。公元前7世纪以前的所谓几何学，都是粗糙的、简单的、片面的、零散的，是依据观察和实验获得的，是人类认识现实学或实验几何学。丰富的经验几何学知识不仅为当时的生产、科技、天文、艺术等提供几何依据，而且为以后的推理几何学用来进行逻辑推理、建立各种系统的几何空间，以及解决各种几何问题提供了大量的材料和依据。公元前7世纪前后，经验几何的知识已经积累相当大的数量，研究这些实证材料的内在联系，几何学便走进了理论领域。在对经验就好知识的整理上，最有成效的是古希腊人。古希腊思想家亚里士多德（Aristotle，公元前384年—322年)，系统地整理了人们进行思维的科学，即逻辑学，为几何学的研究提供了更加完善的思维规律和方法。他认为任何一种严密的科学体系，应该建立在一些不加证明的事实基础之上，而不加证明的事实分成公理和公设。公理应该是更多科学的基础，而公设则仅是适合某一学科的基础。他还主张研究对象要加以定义，为此需要一些不定义的基本对象。

欧几里得是古希腊伟大的数学家，他是柏拉图的学生。他吸收古希腊对几何学的研究成果，以五条公设和五条公理为基础，运用逻辑定义、推理和证明的原则和方法，把几何内容编排成比较系统的概念和理论的演绎体系，完成了经典著作《几何原本》一书，从而导致公理化几何的出现。由于欧几里得《几何原本》中用来建立公理体系的公理不够用，许多地方要借助直观承认的事实来解决，存在不少欠缺，因此他所采用的公理化方法称为实体公理化方法或古典公理化方法。

几何公理法的进一步发展是从实体公理化向形式公理化方法的演变，直到19世纪末才基本完成。在这漫长的岁月里，世界上许多著名的数学家针对《几何原本》中的概念处理上的欠缺和公理不够用等问题进行改进和补充工作，提出许多有创见的论述和成果。在从实体公理化几何向形式公理化几何的转变过程中，值得特别提出的是非欧几何的产生（例如罗氏几何，黎曼几何等），这是几何学发展的重大事件，他明确地肯定了可以用不同的公理系统建立新的几何学，同时非欧几何的产生肯定了公理化方法的重大意义和作用，从而将公理化方法的研究工作推向一个高潮。

欧几里得的千古不朽的名著《几何原本》具有无与伦比的学术价值。《几何原本》的手稿已经遗失，现在的版本都是参考希腊文的手抄本或其他学者的修订本、评注等经多人整理而成的。

欧几里得的《几何原本》的基本结构是定义、公设、公理的系统，《几何原本》共13卷，其中1、2、3、4、6、11、12、13卷属于几何本身，其余各卷则讲比例和算术。

在公理后面、欧几里得按照逻辑关系叙述了几何定理，并把它们按一定的顺序排列，使得每个定理可以根据前面的命题、公设和定理来证明。

现在公认的欧几里得所著的《几何原本》只有十三卷。

下面简要地介绍欧几里得的经典著作《几何原本》的基本内容、方法以及它的历史贡献。

《几何原本》简介

第一卷  给出了23个定义，摘要列举如下：

(1)点没有大小

(2)线有长度没有宽度

(3)线的界是点

(4)直线是与其上的点看齐的线

(5)面只有长度和宽度

(6）面的界是线

(7）平面是与其上的直线看齐的面

(8）平面角是平面上两条相交直线的倾斜度

(15）圆是包含在一线里的平面图形，使从其内一点到该线的所有直线段彼此相等

(16）于是那一点便叫做圆的中心

(23）平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长时，在两个方向上都不会相交

接着给出五条公设：

Ⅰ从每个点到另一个点可引直线

Ⅱ每一直线都可无限延长

Ⅲ以任意点为中心可用任意半径做圆

Ⅳ所有直角彼此相等

Ⅴ（在同一平面内）如果两条直线与第三条直线相交，某一侧的两个内角之和小于二直角，则把两条直线向该侧充分延长后一定相交

接着给出五条公理

Ⅰ等于同一量的量相等

Ⅱ等量加等量其和相等

Ⅲ等量减等量其差相等

Ⅳ彼此重合的量相等

Ⅴ整体大于部分

这里，欧几里得把公设看成仅适用于几何的公理，把公理看成既适用于算术又适用于几何的公理。现代几何学把两者都称为公理。

第一卷还提出49个命题，讨论有关平行线的判别与性质，三角形的全等与边角关系，垂线、平行四边形、多边形面积和勾股定理等，并给出证明与论述。

第二卷  用几何方法研究代数恒等式，即几何中的代数。共提出14个命题，其中包括线段的计算，黄金分割，多边形变形为等积正方形等。

在线段的计算中，规定两线段相加为将一线段延长，使延长部分等于另一线段；规定两线段相减为从一线段割去另一线段；规定两线段相乘为以两线段为边的矩形面积；三线段相乘是以三线段为棱的长方体体积；两线段相除则规定为两线段之比；两线段的开方规定为一正方形的一边，此正方形面积等于以两线段为边的矩形面积，也就是两线段的比例中项。

第三卷  本卷编写了与圆有关的定理，共提出37个命题。其中有关于弦、圆心角、圆周角、切线、割线、圆幂等定理，这些线段几何中所提出的定理，证法也基本相同。

第四卷  本卷编写了圆的内接和外切多边形性质，以及正多边形的作图等，共提出15个命题。

第五卷  本卷编写了比例论，是在欧多克斯研究成果的基础上发展而成的。欧几里得先给出同类的两个量之比，四个量成比例等定义，提出更比、反比、合比、分比等性质，共提出25个命题。

第六卷  本卷编写了相似形理论，以及求做一些比例量的作图，大部分和现行教材一致，共提出33个命题。

第七、八、九卷  是有关数论的知识，讨论了整数及整数比的性质，是纯粹讨论数的，其论证不依赖于几何。

第十卷  本卷叙述了整数开平方的运算，以及对不可数度量的分类，共提出115个命题。

第十一卷  叙述了立体几何的基本定理，包括空间点、直线、平面相互位置关系的一系列定理；关于多面角的理论；相似立体形、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等概念和性质。其中大部分与现行几何课本内容相同。

第十二卷  本卷编写了几何体的表面积和体积的有关定理，包括曲线和曲面所围成的形体的面积和体积。集中研究了欧多克斯研究过的“穷竭法”，共提出18个命题。
所谓“穷竭法”，举例说，为证明两圆面积之比等于其直径平方之比，可以通过圆的内接正多边形，当边数不断增加时，正多边形的面积逐渐接近圆的面积，而定理对正多边形成立，就证明它对圆也成立。“穷竭”一词源于相继做圆的内接正多边形，当边数无限增多时，穷竭了圆的面积，不过欧几里得避开了极限的概念。欧几里得把这种方法推广到求空间几何图形的体积上。

第十三卷  本卷编写了正多边形本身的性质及内接于圆的性质、球的内接正多面体的性质和作图，以及确定五种类型正多面体等，共提出19个命题。

《几何原本》内容相当丰富，是一部不朽的经典著作，其伟大贡献归纳起来主要有三个方面：

第一，从科学和数学本身来看，它是历史上第一部真正的、系统的数学科学理论著作，它把公元前3世纪以前所积累的经验几何和早期推理几何的庞大的几何知识，加工整理成理论体系，为后来几何学发展奠定了基础。实践证明，它是几何学发展的一个重要的里程碑，是人类文明遗产中的瑰宝。

第二，从科学方法论的角度来看，欧几里得吸取了亚里士多德关于建立科学理论的思想，总结了古希腊各个学派对几何方法的研究成果，在《几何原本》中确定了古典公理化方法。《几何原本》从少数基本概念和公理出发，运用形式逻辑的原理，把几何学编排成由概念、公理、命题组成的演绎体系。他的思想方法和示范性的工作，为几何学的研究开创了史无前例的新的途径，为公理化方法奠定了良好开端。在此基础上，公理化方法逐步发展成为近代公理化方法，并超越几何学的界限，被应用的整个数学和其它科学领域。

第三，从数学教育方面来看，由于《几何原本》已经把几何知识编排成系统的科学著作，自然就成为传播几何知识的重要教材，它在世界上引起的巨大影响，使欧几里得的名字几乎成为几何学代名词。世界上各国的中学几何教材，几乎都是以《几何原本》的内容、方法编排而成的。

《几何原本》的不足之处

《几何原本》虽是不朽的著作，但由于时代和当时科学发展的局限性，难免存在许多缺陷，主要是以下三个方面：

第一，欧几里得《几何原本》中试图对每个概念都给出定义，实际上是不可能的。因此，一些定义，如开头的7个定义不过是对点、线、面等几何概念的直观描述，它在以后的推理论证中根本不起作用；还有一些定义含糊不清，令人费解，如“直线”、“平面”等概念；还有一些定义利用了未加定义的概念，如“界限”、“长度”等等，总之，在概念的处理上存在一些问题。

第二，《几何原本》中作为演绎、推理基础的公设不够用。希尔伯特对欧几里得几何给出了20条公理，不多不少刚好够用，而《几何原本》仅给出5条公设，显然缺少很多，有许多命题的证明由于缺少依据，不得不借助图形的直观感觉或未加证明的一些事实为依据，即离不开几何实体。后来过了2000多年的时间，才逐步补齐了缺少的公理。

第三，叙述上个是单调、割裂；有的命题的证明过于繁琐、重复，以特例证明一般，甚至出现逻辑错误等。