一、内容提要

1.基本概念

原始概念和定义的概念；论题；论据；论证；公理系统的相容性；公理系统的独立性；公理系统的完备性。

2.基本结论

1）公理化方法建立科学体系的四个组成部分：原始概念的列举；定义的叙述；公理的列举；定理的叙述和证明；

2）早期欧几里得建立的几何公理系统是实体公理化方法；

3）希尔伯特给出的欧几里得几何学的公理系统是具有相容性、独立性、完备性的公理系统，是完善的公理体系；

4）初中平面几何和高中立体几何的公理体系是不完备的；

5）初中平面几何公理系统不具有独立性；

3.基本方法

建立科学体系的公理化方法

4.需要说明的问题

1）关于几何发展史，需要同学们课下阅读相关书籍和文献资料，加以补充。

2）非欧几何的（例如罗氏几何、黎曼几何等）相关知识，需要大家查阅文献自行加以补充。

二、精选例题解析

例：简要说明欧几里得《几何原本》在几何学发展史上的卓越贡献。

答：几何原本》内容相当丰富，是一部不朽的经典著作，归纳起来主要有三个方面：

第一，从科学和数学本身来看，它是历史上第一部真正的、系统的数学科学理论著作，它把公元前3世纪以前所积累的经验几何和早期推理几何的庞大的几何知识，加工整理成理论体系，为后来几何学发展奠定了基础。实践证明，它是几何学发展的一个重要的里程碑，是人类文明遗产中的瑰宝。

第二，从科学方法论的角度来看，欧几里得吸取了亚里士多德关于建立科学理论的思想，总结了古希腊各个学派对几何方法的研究成果，在《几何原本》中确定了古典公理化方法。《几何原本》从少数基本概念和公理出发，运用形式逻辑的原理，把几何学编排成由概念、公理、命题组成的演绎体系。他的思想方法和示范性的工作，为几何学的研究开创了史无前例的新的途径，为公理化方法奠定了良好开端。在此基础上，公理化方法逐步发展成为近代公理化方法，并超越几何学的界限，被应用的整个数学和其它科学领域。

第三，从数学教育方面来看，由于《几何原本》已经把几何知识编排成系统的科学著作，自然就成为传播几何知识的重要教材，它在世界上引起的巨大影响，使欧几里得的名字几乎成为几何学代名词。世界上各国的中学几何教材，几乎都是以《几何原本》的内容、方法编排而成的。