设 和是两个不同的（平行或相交）的平面，是不平行也不平行的直线。

定义：到沿方向的平行射影，指的是从到的一个映射，它使得平面上的每个点对应于上的点，点在过点且平行于给定直线的直线上，

如图所示

   

平行射影把平面上的一个图形变成平面上的某个图形。

如果，则平行射影把上的图形变成上的一个全等的图形；如果，则平行射影改变图形的形态。

改变直线的方向，会得到不同的从到的平行射影。

平行射影具有以下基本性质：

性质1  平行射影把上的直线映射成上的直线（图1）.

实际上，过直线上的点且平行于的直线构成一个平面，

在上述平行射影下的像就是平面同的交线；

反之，上的每一条直线都是上某一直线的像。

性质2  平行射影把平行直线变成平行直线（图2）.

实际上，作与直线平行且分别通过与的两个平面和，

则平面和平行，

从而与与平面的交线与也平行。

 

性质3  平行射影保持两条共线的线段的长度之比不变，也保持平行线上两个线段的长度之比不变。

实际上，与一个角的两边相交的平行线在这两个边上截得成比例的线段 

设上，并设是直线上的点，使得，

有性质2知，平行射影将变成，

故有上面已证，有

即。

性质4  平行射影保持平面上两个图形的面积比不变。

定理1  设是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，则存在从到上的一个平行射影把映射成上与相似的.

证明    一般情况即，将平面与放置于空间中，使得与沿直线相交，

在平面上选取一点，使得，则所求的平行射影由直线确定.  

例1．设是的三条高线，则有

    证明：因为，所以，

         同理可得，

         于是。

  例2．设分别是的边上的点（不在延长线上），如果，则直线共点

（证明思路）我们求得一个平行射影，将所在的平面映射的另一个平面上得到，使得直线 在平行射影下的象是的三条高线，这样由例1可得给定的等式。

证明  做，使得三条高线的垂足依次分三边为给定比：，做法如下：

首先，取任意线段，在上取点，使得，过点做线段的垂线，在线段上取点，使得，过做的垂线，设以线段为直径的半圆与垂线的交点为。直线与垂线的交点为，连接 得。

下面证明为所求作的三角形。

和是中边上的高线，设是另外一条高线。

由于，，

并且由例1知:

    而

所以

由定理1，用一个平行射影将映射到和相似的一个三角形。

由平行射影性质3：“平行射影保持共线线段的比不变”，可知点映射到的高线的垂足上。

而直线则映射到它的高线上，由于三角形的高线共点，故共点。