设 和 是两个不同的（平行或相交）的平面， 是不平行 也不平行 的直线。

定义： 到 沿方向 的平行射影，指的是从 到 的一个映射，它使得平面 上的每个点 对应于 上的点 ，点 在过点 且平行于给定直线 的直线上，

如图所示

   

平行射影把平面 上的一个图形 变成平面 上的某个图形 。

如果 ，则平行射影把 上的图形变成 上的一个全等的图形；如果 ，则平行射影改变图形的形态。

改变直线 的方向，会得到不同的从 到 的平行射影。

平行射影具有以下基本性质：

性质1  平行射影把 上的直线映射成 上的直线（图1）.

实际上，过直线 上的点且平行于 的直线构成一个平面 ，

在上述平行射影下的像就是平面 同 的交线；

反之， 上的每一条直线都是 上某一直线的像。

性质2  平行射影把平行直线变成平行直线（图2）.

实际上，作与直线 平行且分别通过 与 的两个平面 和 ，

则平面 和 平行，

从而 与 与平面 的交线 与 也平行。

性质3  平行射影保持两条共线的线段的长度之比不变，也保持平行线上两个线段的长度之比不变。

实际上，与一个角的两边相交的平行线在这两个边上截得成比例的线段

设 上 ，并设 是直线 上的点，使得 ，

有性质2知，平行射影将 变成 ，

故有上面已证，有

即 。

性质4  平行射影保持平面上两个图形的面积比不变。

定理1  设 是平面 上不共线的三个点， 是平面 上不共线的三个点，则存在从 到 上的一个平行射影把 映射成 上与 相似的 .

证明    一般情况即 ，将平面 与 放置于空间中，使得 与 沿直线 相交，

在平面上 选取一点 ，使得 ，则所求的平行射影由直线 确定.

 

例1．设 是 的三条高线，则有

    证明：因为 ，所以 ，

         同理可得 ，

         于是 。

例2．设 分别是 的边 上的点（不在延长线上），如果 ，则直线 共点

（证明思路）我们求得一个平行射影，将 所在的平面 映射的另一个平面 上得到 ，使得直线 在平行射影下的象是 的三条高线 ，这样由例1可得给定的等式。

证明  做 ，使得三条高线 的垂足依次分三边 为给定比： ，做法如下：

首先，取任意线段 ，在 上取点 ，使得 ，过点 做线段 的垂线 ，在线段 上取点 ，使得 ，过 做 的垂线 ，设以线段 为直径的半圆与垂线 的交点为 。直线 与垂线 的交点为 ，连接 得 。

下面证明 为所求作的三角形。

和 是 中 边上的高线，设 是另外一条高线。

由于 ， ，

并且由例1知:

    而

所以

由定理1，用一个平行射影将 映射到和 相似的一个三角形 。

由平行射影性质3：“平行射影保持共线线段的比不变”，可知点 映射到 的高线的垂足上。

而直线 则映射到它的高线上，由于三角形的高线共点，故 共点。