一、中心射影的定义

首先介绍直线到直线的中心射影：

设 与 是同一平面内两条不同的直线， 是在此平面内不在 与 上的一点。从 把直线 射影到直线 上，即直线 上任意一点 ，对应于直线 上属于连线 上的点 ，这样定义的映射直线 到直线 上的中心在 点的中心射影，称 也叫做 在 上的中心射影， 称为射（投）影线，称 为射（投）影中心，（见图1）

显然 也叫做 在 上的中心射影。

从定义可知，中心射影与射影中心的位置有关。

若 与 相交于 ，那么在中心射影下， 是自对应点，称为中心射影下的二重点。

在平面内两条相交直线间的中心射影中， 上有一点 ，连线 与 平行，故 与 无交点， 在 上没有中心射影，称 为影消点。同样在 上也有一点 ，连线 与 平行， 在 上也没有投影点，称 为 中的影消点。因此，此中心射影在 与 间不是一一对应。

下面介绍平面到平面的中心投影：

设 与 是两个不同的平面（见图2），在这两个平面之外选一点 ，对 上任意一点 ，连接 交平面 于 点，这样定义的映射称为从平面 到平面 的中心在 的中心射影，称点 为点 在 上的中心射影， 称为射影中心， 称为射（投）影线。

显然， 也称为 在 上的中心射影。

从定义知，中心射影与射影中心的位置有关。

易知，在中心射影下，平面 内的直线对应 内的直线。当 与 相交于直线 时，交线 上的每一点都是自对应点，交线 称为中心射影下的二重直线。

在两个相交平面间的中心射影中，过点 做平行于 的平面 ， 与 有一条交线 ，则这条交线上的点，在 中没有射影点，称之为 上的影消线。同样，在 上也有一条直线 ，在 上没有射影像，称之为 的影消线。故平面之间的中心射影也不是一一对应。

二、无穷远元素

上面已经看到，中心射影不是一一对应，下面在直线上引进一个新点，使平行的直线有且只有一个交点；在平面上，对任何一组平行直线引入一个新点，叫无穷远点。此点在这组直线中的每一条上，于是平行的直线交于无穷远点。无穷远点记为 ，平面内原有的点叫做有穷远点。

所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上引入不同的无穷远点。

由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是平面上引入的所有无穷远点的集合的轨迹与平面内的每一条直线有且只有一个交点。

因此，规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线，记为 ，平面内原有的直线叫做有穷远直线。

在欧氏直线上添加了无穷远点之后，便得到一条新的直线，叫做仿射直线。若将直线 上的有穷远点与无穷远点不加区别，等同看待，则这条仿射直线叫做射影直线。

下面给出一个模型来解释射影直线。

以一个单位圆 ，与直线 相切于 （见图5），记 的对径点为 。任取 连接 交直线 于点 ，这样就建立了 与 之间的一一对应。可以看出，当 趋于 时， 趋于 。规定 对应于 ，从而可以认为射影直线是封闭的，它上面的点与单位圆上的点一样多，要同等对待有穷远点与无穷远点，就像同等对待圆周上的任何两点一样。

同样，将上面的概念拓广到平面上，平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面。若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则这个平面称为射影平面。

空间中添加了很多无穷远点，所有这些无穷远点的轨迹可以认为是一个平面，称为无穷远平面，记作

平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于无穷远直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷点。

在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点。两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，任意一条有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点。

三、透视对应与中心透视

如图1，在引进无穷远元素之后，通过中心射影，把 上影消点 投影到 上无穷远点 ，把 上的无穷远点 投影到 上影消点 。于是中心射影建立了直线之间的一一对应，称这个中心射影为直线间的透视对应

同理，中心射影把平面 上的影消线 投影到 上无穷远直线 ，同时把 上的无穷远直线 投影到 上影消线 。于是中心射影建立了平面到平面间的一一对应，称为平面 与 之间的中心透视。

（下面看一下中心射影如何改变线段的长度）

设 是平面 上的一个线段，在以 为中心的中心射影下， 在 上的像是

如图6所示

由三角形的面积公式 可知（具有公共角的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边的乘积之比）

设 与 分别是点 到直线 与 的距离，

则有

或者

若 是 中直线 上的三个点，而 是 上对应的投影像，则从上面公式可得         （1）

上式表明：在中心射影下比值 一般不等于比值

 

但是对直线 上的两点 ，设 为其在 上的投影像，则有            （2）

即 与 分别分割线段 所得到的有向线段的比（交比）在中心射影下保持不变。

定理1  设 是平面 上的四个点，其中任何三点不共线， 是平面 上的任何三点不共线的四个点，则存在从 到 的中心（或平行）射影，它把四边形 变成与四边形 相似的四边形

证明  如图7所示

在平面 上做与四边形 相似的四边形 ，使得 ，

在空间中移动 ，使 与 交于直线 ，

连接 ，则直线 共面，

故 与 的交点 就是所求中心射影的射影中心（如果 与 平行，则所求中心射影为平行射影）。

定理2    设 是平面上任意一个多边形， 是它的边上或边的延长线上的点，则下面的乘积 在中心射影下保持不变。

证明  设 与分 别是点 和 在以 为中心的中心射影下的像，则由（1）式有：

将这些等式两端对应乘积得 。

四、球极中心射影

（中心射影也可以用来解决包含圆的有关初等几何问题）

设 是一球面， 是球面 上的一点，从球面 到它在点 处的切平面 上的球极平面射影，就是中心在 点（ 点的对径点）的从 到 的中心射影。

在球极平面射影下， 上的任一点 （ ）的像是直线 与平面 的交点 ，而点 在平面 上没有像。

球极平面射影的性质：

性质1  球极平面射影把球面 上的每一个圆变成平面 上的一个圆或一条直线，反之， 上的圆或直线的原像是 上的圆

性质 2  设 是平面 上的一个圆， 是 上的不与圆 相交的直线，则存在从平面 到某个平面 的中心射影。它把 变成 上的圆 ，并且把直线 变成 上的无穷远直线。

证明  如图9所示，经过圆 在空间做一个球面 ，并过 作一个与球面某点 相切的平面 。设 是平行于平面 并与球面 相切于 点的平面，则 与 是对径点。

则以 为中心的从平面 到平面 的中心射影，将圆 映为平面 上圆 。将直线 映成无穷远直线。

性质3  设 是平面上的一个圆， 是圆 内部的一点，则存在从平面 到某一个平面 上的中心射影，它把 变成平面 上的圆 。并且把点 变成圆 的中心 。